四川省泸州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

泸州市高2022级高一学年末统一考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，集合，则集合A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】,所以，故选A.考点：集合的运算.2.为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A.简单随机抽样 B.按性别分层随机抽样C.按学段分层随机抽样 D.其他抽样方法【答案】C【解析】【分析】根据三个学段学生的视力情况有较大差异得到使用分层抽样，得到答案.【详解】因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样故选：C3.下列函数是幂函数，且在定义域内为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数，指数函数的概念及性质逐项判断即可.【详解】对于A，是幂函数，定义域为，在上单调递减，在上单调递增，故A错误；对于B，，定义域是，且在上单调递增，故B正确；对于C，不是幂函数，故C错误；对于D，是指数函数，不是幂函数，故D错误.故选：B.4.若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由求出复数，从而可求出其共轭复数【详解】由，得，所以，故选：A5.设，，则A是B的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出集合B，再根据充分条件与必要条件的定义判断．【详解】，显然B是A的真子集，则A是B的必要不充分条件．故选：B．6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A.7 B.6 C.5 D.3【答案】A【解析】【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解.【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长，所以，解得.故选：A.【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.7.已知，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】详解】由及，故．故选D．8.在中，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量几何运算，再根据条件即可得出结果.【详解】因为，所以，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某运动员10次射击成绩（单位：环）为7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，则下列关于这组数据说法正确的是（）A.众数为7和9 B.极差为7C.中位数为7 D.方差为4.8【答案】ABD【解析】【分析】利用众数、中位数、极差、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】因为10次射击成绩（单位：环）从小到大排列为：2，4，7，7，7，8，8，9，9，9，选项A，因为这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，故众数为7和9，故选项A正确；选项B，这组数据中最大的数为9，最小的数为2，故极差为7，故选项B正确；选项C，易知中位数为，故选项C错误；选项D，因为，所以方差为，故选项D正确；故选：ABD.10.如图，在长方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A四点共面B.直线，直线，直线交于一点C.直线与直线所成的角为D.直线与平面所成的角的正切值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，推出，可知A正确；对于B，推出的交点在上，可得B正确；对于C，根据，求出，可得C错误；对于D，根据平面，得直线与平面所成的角为，计算可得D正确.【详解】对于A，连，，，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为分别为棱，的中点，所以，所以，所以四点共面，故A正确；对于B，由A知，四边形为梯形，延长，必交于一点，设为，因为，平面，所以平面，同理得平面，又平面平面，所以，所以直线，直线，直线交于一点，故B正确；对于C，因为，所以直线与直线所成的角为，因为，所以，故C错误；对于D，因为平面，所以直线与平面所成的角为，由C知，，故D正确.故选：ABD.11.函数（常数，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A.B.C.函数在上单调递增D.将函数的图象向左平移个单位长度所得函数是偶函数【答案】BC【解析】【分析】根据给定的函数图象，求出的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.【详解】由函数的图象可知，，最小正周期满足，即，则，根据“五点法作图”，由可得，，即所以，，所以，选项A：，错误；选项B：，正确；选项C：当时，，因此函数在上单调递增，正确；选项D：，因此将函数的图象向左平移个单位长度所得函数不是偶函数，错误；故选：BC12.已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，函数单调递增C.当时，记函数的图象与函数的图象在上的m个交点为（），则D.当时，函数在上的值域为【答案】ACD【解析】【分析】确定函数周期为4，计算得到A正确；计算得到，B错误；结合函数的图象计算函数的交点，相加得到C正确；由题意得，根据函数的图象及单调性，计算最值得到值域，得到答案.【详解】若，当时，，函数周期为4，，A正确；当时，取，，，函数单调递减，B错误；，，当时，，函数简图如图所示，根据图象与的图象交点分别为，，，，共4个交点，故，，C正确；∵当时，，∴，，函数简图如图所示：根据图象知，函数在和上单调递增，在上单调递减，，现考虑轴上每8个单位长度为一段的函数值，最大值依次变大，最小值依次变小，故只需考虑最后一段即可，，，故值域为，D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．（2）本部分共10个小题，共90分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.数据5，6，7，8，9，10，11，12，13，14的第90百分位数为______．【答案】13.5【解析】【分析】根据百分位数的概念求解即可．【详解】数据由小到大排列，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，共10个数据，∵10×90%＝9，∴第90百分位数为第9个数与第10数的平均数，即．故答案：13.5．14.已知向量与向量的夹角为，，，则的值是______．【答案】【解析】【分析】转化为平面向量的数量积可求出结果.【详解】故答案为：.15.在直三棱柱中，，，四棱锥体积为，则直三棱柱的外接球的体积为____【答案】【解析】【分析】证明线面垂直，由四棱锥体积求出，作出辅助线，找到球心的位置，得到半径，求出体积.【详解】因为三棱柱为直三棱柱，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，，平面，所以⊥平面，故，解得，因为，所以球心在平面的投影位于的中点，如图，球心位于与的交点处，其中，故外接球半径，故三棱柱的外接球的体积为.故答案为：16.已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，写出“使满足，的唯一”的a的一个取值为______．【答案】（答案不唯一，满足或即可）【解析】【分析】根据题意，利用正弦定理求解.【详解】∵，，∴当或，即或时，唯一；故答案为：（答案不唯一，满足或即可）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，，，且向量与共线．（1）求实数的值；（2）求向量在向量上的投影向量．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示列式求解；（2）根据投影向量的定义求解.【小问1详解】∵，，∴，∵向量与共线，∴，解得.【小问2详解】∵，，，∴向量在向量上的投影向量．18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求A的值；（2）若，在下列三个条件中任选一个作为条件，求b，c的值．①；②的面积为；③边BC上的中线长为．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可得解；（2）若选①，由数量积运算和余弦定理列式求解；若选②，由三角形面积公式和余弦定理得列式求解；若选③，设边BC上的中点为D，则，两边平方，由数量积运算和余弦定理列式求解.【小问1详解】若，由正弦定理得，，∵，∴，∵，∴.【小问2详解】若选①，由得，则，又余弦定理得，即，所以，联立解得.若选②，由面积为得，即，又余弦定理得，即，所以，联立解得.若选③，设边BC上的中点为D，则，，则，即，又余弦定理得，即，所以，联立解得．19.已知函数，．（1）求函数的最小正周期；（2）若函数在上有零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式降幂，由两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后可求周期；（2）将题设转化为在上有解，确定在上的单调性，即可求出实数的取值范围．【小问1详解】因为所以【小问2详解】函数在上有零点，可转化为在上有解，由（1）知，因为时，所以，由图像与性质知，当，即时，单调递减，当，即时，单调递增，又，，，故函数在上有零点时，则.20.《中华人民共和国节约能源法》要求各行各业须采取技术上可行、经济上合理以及环境和社会可以承受的措施，从能源生产到消费各个环节，降低消耗，减少损失，制止浪费，有效合理利用能源．某家庭积极响应，采用节水龙头以降低家庭用水量，并记录了使用节水龙头后50天的日用水量数据（单位：），得到频数分布表如下：日用水量频数151310165（1）据以上数据，作出使用了节水龙头50天的日用量数据的频率分布直方图；（2）若该家庭使用节水龙头前，每年的用水费用支出约为674.5元，且某地居民用水费用为3.09元，据此估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少用水费用?（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案】（1）答案见解析（2）279.7525（元）【解析】【分析】（1）根据频率分布表，再根据频率分布直方图的概念即可作图；（2）利用频率分布直方图求出日均用水量，再根据条件即可求结果.【小问1详解】因为频率分布表：日用水量频数151310165频率0.020.10.260.20.320.1故频率分布直方图为：【小问2详解】由题意，使用了节水龙头50天的日均用水量为，所以一年的平均用水量为：，故一年能节省元.21.在平面四边形中（如图1），，，，E是AB中点，现将△ADE沿DE翻折得到四棱锥（如图2），（1）求证：平面平面；（2）图2中，若F是中点，试探究在平面内是否存在无数多个点，都有直线平面，若存在，请证明．【答案】（1）证明见解析（2）存在，证明见解析【解析】【分析】（1）由，，可得平面，进而得出结论；（2）延长ED与BC交于点G，在平面AED内过G作GH∥AD，且GH＝AD，可证得AD∥平面CGH，DF∥平面CGH，从而平面ADF∥平面CGH，由题意，可得点P在直线GH上，可求得结论．【小问1详解】∵，，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．【小问2详解】延长ED与BC交于点G，在平面AED内过G作GH∥AD，且GH＝AD，连接AH，CH，AD平面CGH，GH平面CGH，则AD∥平面CGH，若F是EB中点，则DC∥FB，且DC＝FB，则BCDF为平行四边形，故DF∥BC，即DF∥CG，DF平面CGH，CG平面CGH，则DF∥平面CGH，又AD,DF平面ADF，AD∩DF＝D，则平面ADF∥平面CGH，由题意，可得点P在直线GH上，CP平面CGH，则CP∥平面ADF，满足题意，所以，在平面AED内存在无数多个点，都有直线CP∥平面ADF．22.已知函数的图象关于原点对称．（1）判断函数在定义域上的单调性，并用并调性的定义证明；（2）设函数（且）在上的最小值为1，求的值．【答案】（1）函数在定义域内单调递增，证明见详解（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义可求得，再结合单调性的定义分析证明；（2）利用换元，根据对数函数的性质分析可得：当时恒成立，进而可得且，并结合二次函数的性质以及对数函数的单调性分析求解.【小问1详解】因为函数的图象关于原点对称，则，即，整理得，又因为，则，所以，解得，即，可知函数在定义域内单调递增，证明如下：任取，且，因为在定义域内单调递增，