湖南省长沙市道林镇道林中学 2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析

湖南省长沙市道林镇道林中学2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列的前三项为，则这个数列的通项公式为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C

略2.若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于()A．10

B．100

C.

D.参考答案：C由正态分布密度曲线上的最高点知＝，∴D(X)＝σ2＝.3.已知，，，则的边上的中线所在的直线方程为（

）． A． B． C． D．参考答案：A解：中点为，，代入此两点，只有符合．故选．4.已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用向量的数量积将条件进行转化，利用数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：设z=，则z==||?=||?cos∠A0M，∵O（0，0），A（1，0）．∴||=1，∴z=||?cos∠A0M=cos∠A0M，作出不等式组对应的平面区域如图：要使cos∠A0M，则∠A0M最大，即当M在C处时，∠A0M最大，由得，即C（1，3），则|AC|=，则cos∠A0M==，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用向量的数量积将条件进行转化是解决本题的关键．5.函数的定义域是（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：B6.若上是减函数，则的取值范围是（）A.

B.

C.

D.

参考答案：B略7.若1+sinx?+cosx?=0，则x不可能是（）A．任何象限的角 B．第一、二、三象限的角C．第一、二、四象限的角 D．第一、三、四象限的角参考答案：C【分析】化简方程为1+sinx?|sinx|+cosx?|cosx|=0，推出，即可确定x所在象限，得到选项．【解答】解：由已知得1+sinx?|sinx|+cosx?|cosx|=0，∴，故x不可能是第一、二、四象限的角．故选C【点评】本题是基础题，考查根式的运算，象限角的求法，平分关系式的应用，常考题．8.抛物线上的点到直线距离的最小值是A．

B．

C．

D．参考答案：A9.设，则随机变量X的分布列是：X01P

则当a在（0，1）内增大时（

）A.D(X)增大 B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大参考答案：D【分析】首先根据期望公式求得随机变量X的期望，之后应用方差公式求得随机变量X的方差，根据二次函数的性质求得结果.【详解】根据题意可得，，所以D(X)在上单调减，在上单调增，所以D(X)是先减小后增大，故选D.【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量方差的变化趋势，涉及到的知识点有离散型随机变量的期望和方差公式，属于简单题目.10.垂直于同一条直线的两条直线一定（

）A．平行

B.相交

C.异面

D.

以上都有可能参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的虚部位

参考答案：12.命题“”的否定是_

▲

．参考答案：略13.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程是，（为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，面积的最大值为__________.参考答案：【分析】通过将面积转化为以AB为底，P到AB的距离为高即可求解.【详解】直线的直角坐标方程为：，圆的直角坐标方程为：，即圆心为坐标原点，半径为1.因此圆心到直线的距离为，因此，设P到线段AB的高为h，则，因此.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，面积最值问题.意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.14.

——————参考答案：略15.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即是EF⊥CE．进而求出CF、FB、BC，即可求出异面直线AD与BF所成角的余弦值．【解答】解：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形；即是EF⊥CE．设AB=1，则CE=1，CF=，FB=，利用余弦定理，得．故异面直线AD与BF所成角的余弦值是．16.已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是

参考答案：17.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为___________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M，N分别为PB，AC的中点，（1）求证：MN∥平面PAD；

（2）求点B到平面AMN的距离．参考答案：【考点】LS：直线与平面平行的判定；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接BD，则BD∩AC=N，利用三角形中位线的性质，可得MN∥PD，利用线面平行的判定，即可得到MN∥平面PAD；

（2）利用VM﹣ABN=VB﹣AMN，可求点B到平面AMN的距离．【解答】（1）证明：连接BD，则BD∩AC=N∵M，N分别为PB，AC的中点，∴MN是△BPD的中位线∴MN∥PD∵MN?平面PAD，PD?平面PAD∴MN∥平面PAD；（2）解：设点B到平面AMN的距离为h，则∵底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∴AM=AN=，MN=∴∵，M到平面ABN的距离为∴由VM﹣ABN=VB﹣AMN，可得∴h=，即点B到平面AMN的距离为．19.设数列{an}满足，且点在直线上，数列{bn}满足：，．（1）数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（1）利用等差数列的性质求数列的通项公式，利用等比数列的性质求的通项公式.（2）由题得，再利用分组求和、错位相减法求数列的前项和.【详解】（1）是以为首项，2为公差的等差数列，，，

是以为首项，3为公比的等比数列，。（2）由(1)知，设的前项和为①②①—②得

，，所以。设的前项和为,当为偶数时，，当为奇数时，为偶数，，。【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的判定和通项的求法，考查错位相减法、分组求和法求数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20.（理科做）

设函数f（x）=ax+（x＞1）（1）若a＞0，求函数f（x）的最小值；（2）若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求f（x）＞b恒成立的概率．参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】不等式的解法及应用；概率与统计．【分析】（1）变形化简，利用均值不等式求解f（x）=ax+=ax++1=a（x﹣1）++1+a，（2）于是f（x）＞b恒成立就转化为：（+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，运用列举的方法求解事件个数，运用概率公式求解．【解答】（1）解：x＞1，a＞0，f（x）=ax+=ax++1=a（x﹣1）++1+a=（+1）2∴f（x）min=（+1）2（2）则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得：P（A）==【点评】本题考察了不等式的应用，古典概率的求解，难度不是很大，属于中档题，运用列举即可解决．21.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是（t为参数）.（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设点M的直角坐标为，过M的直线与直线l平行，且与曲线C交于A、B两点，若，求a的值.参考答案：（1）直线l的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；（2）.【分析】（1）利用两角和的余弦公式以及可将的极坐标方程转化为普通方程，在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程；（2）求出直线的倾斜角为，可得出直线的参数方程为（为参数），并设点、的参数分别为、，将直线的参数方程与曲线普通方程联立，列出韦达定理，由，代入韦达定理可求出的值.【详解】（1）因为，所以，由，，得，即直线的直角坐标方程为；因为消去，得，所以曲线的普通方程为；（2）因为点的直角坐标为，过的直线斜率为，可设直线的参数方程为（为参数），设、两点对应的参数分别为、，将参数方程代入，得，则，.所以，解得.【点睛】本题考查参数方程、极坐标与普通方程的互化，同时也考查了直线参数方程的几何意义的应用，求解时可将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，结合韦达定理进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.22.已知数列{an}，其前n项的和为Sn（n∈N*），点（n，Sn）在抛物线y=2x2+3x上；各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b3=，b5=．（1）求数列{an}，{bn}的通项数列；（2）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）易得Sn=2n2+3n，令n=1可得首项a1，当n≥2时可得an=Sn﹣Sn﹣1，代入可得通项，设等比数列{bn}的公比为q，可建立关于b1，q的方程组，解之可得；（2）由（1）可得cn=（4n+1）?（）n，由错位相减法可求和．解答： 解：（1）∵点（n，Sn）在抛物线y=2x2+3x上，∴Sn=2n2+3n，当n=1时，a1=S1=5，当n≥2时，Sn﹣1=2（n﹣1）2+3（n﹣1），∴an=Sn﹣Sn﹣1=4n+1，∴数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列，∴an=4n+1；又∵各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b