湖北省黄石市英才中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖北省黄石市英才中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为锐角，且有，，则的值是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C2.设是球心的半径的中点，分别过作垂直于的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：(

)（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：【解】：设分别过作垂线于的面截球得三个圆的半径为，球半径为，则：

∴

∴这两个圆的面积比值为：

故选D【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；3.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：千瓦·时）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：x（单位：℃）171410－1y（单位：千瓦·时）24343864由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（

）A.56千瓦·时

B．62千瓦·时

C.64千瓦·时

D．68千瓦·时参考答案：A代入回归直线方程，求得所以回归直线方程为当温度为℃时，代入求得千瓦·时所以选A

4.将函数y=sin(2x+)的图象经过怎样的平移后所得图象关于点（，0）中心对称（

）

A．向右平移

B．向右平移

C．向左平移

D．向左平移

参考答案：Ａ5.若是的最小值，则的取值范围为（

）。(A)[-1,2]

(B)[-1，0]

(C)[1，2]

(D)0，2]参考答案：

D

6.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．2参考答案：A7.已知双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（A） （B）（C） （D）参考答案：A分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.

8.一束光线从点出发经轴反射到圆C：上的最短路程是

（

）A.4

B.

C.

5

D.参考答案：A略9.“a=1”是“函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既非充分条件也不是必要条件参考答案：A10.若集合A={x||x|＜1}，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1] B．[﹣1，1] C．（0，1） D．（﹣∞，1]参考答案：A【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合A、B的范围，取并集即可．【解答】解：集合A={x||x|＜1}=（﹣1，1），B={x|≥1}=（0，1]，则A∪B=（﹣1，1]，故选：A．【点评】本题考查了集合的并集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为________．参考答案：1略12.已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出下列命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为

（把所有正确命题的序号都填上）参考答案：①②④【考点】函数的零点；函数单调性的判断与证明；函数的周期性；对称图形．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）、赋值x=﹣3，又因为f（x）是R上的偶函数，f（3）=0．（2）、f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），又因为f（x+6）=f（x），得周期为6，从而f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴（3）、有单调性定义知函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．（4）、f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0．【解答】解：①：对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，令x=﹣3，则f（﹣3+6）=f（﹣3）+f（3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0．②：由（1）知f（x+6）=f（x），所以f（x）的周期为6，又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴．③：当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．④：f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．故答案为：①②④．【点评】本题重点考查函数性质的应用，用到了单调性，周期性，奇偶性，对称轴还有赋值法求函数值．13.在抛物线的焦点为圆心，并与抛物线的准线相切的圆的方程是

。参考答案：14.体积为27的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的半径为_________.参考答案：试题分析：正方体棱长为，则，，．故答案为．考点：正方体与外接球．15.抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为

参考答案：

16.设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．17.计算：|3﹣i|=，=

．参考答案：，﹣1+3i

【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数模的定义和复数的混合运算法则计算即可．【解答】解：|3﹣i|==，==﹣1+3i，故答案为：，﹣1+3i．【点评】本题考查了复数模的定义和复数的混合运算，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

请你设计一个LED霓虹灯灯箱．现有一批LED霓

虹灯灯箱材料如图所示，ABCD是边长为60cm的

正方形LED散片，边CD上有一以其中点M为圆

心，半径为2cm的半圆形缺损，因此切去阴影部分（含半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于空间一点P，正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹灯灯箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.(1)用规格长×宽×高=145cm×145cm×75cm外包装盒来装你所设计的LED霓虹灯灯箱，灯箱彼此间隔空隙至多0.5cm，请问包装盒至少能装多少只LED霓虹灯灯箱（每只灯箱容积V最大时所装灯箱只数最少）?(2)若材料成本2元／，霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积S()为准，售价为2.4元／．试问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少？参考答案：略19.如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）已知点D是平面ABC内一点，且四边形ABCD为平行四边形，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【分析】（1）取AC中点O，连结AO，BO，摔倒导出BO⊥面A1ACC1，AO⊥面ABC，由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．（2）点P与A1重合时，连结AD，CD，A1D，推导出四边形A1B1CD是平行四边形，从而A1D∥B1C，由此得到DP∥平面AB1C．【解答】解：（1）取AC中点O，连结AO，BO，∵在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC．∴BO⊥面A1ACC1，∴BO⊥AO，A1C=A1A，∴AO⊥AC，∴AO⊥面ABC，∴AO=BO==，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC?AO===3．（2）点P与A1重合时，DP∥平面AB1C．证明如下：连结AD，CD，A1D，∵四边形ABCD为平行四边形，∴A1B2ABCD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵B1C?平面AB1C，A1D?平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，∴DP∥平面AB1C．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．20.春季气温逐渐攀升，病菌滋生传播快，为了确保安全开学，学校按30名学生一批，组织学生进行某种传染病毒的筛查，学生先到医务室进行血检，检呈阳性者需到防疫部门]做进一步检测．学校综合考虑了组织管理、医学检验能力等多万面的因素，根据经验，采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将待检学生随机等分成若干组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样合格，不必再做进一步的检测；若结果呈阳性，则本组中的每名学生再逐个进行检测．现有两个分组方案：方案一：将30人分成5组，每组6人；方案二：将30人分成6组，每组5人．已知随机抽一人血检呈阳性的概率为0．5%，且每个人血检是否呈阳性相互独立．（Ⅰ）请帮学校计算一下哪一个分组方案的工作量较少？（Ⅱ）已知该传染疾病的患病率为0．45%，且患该传染疾病者血检呈阳性的概率为99．9%，若检测中有一人血检呈阳性，求其确实患该传染疾病的概率．（参考数据：（，）参考答案：（Ⅰ）方案一工作量更少．（Ⅱ）0.8991【分析】（Ⅰ）设方案一中每组的化验次数为X，则X的取值为1、7，分别求出相应的概率，求出，从而方案一的化验总次数的期望值为：次．设方案二中每组的化验次数为Y，则Y的取值为1、6，分别求出相应的概率，求出．从而方案二的化验总次数的期望为次．由此能求出方案一工作量更少．（Ⅱ）设事件A：血检呈阳性，事件B：患疾病，由题意得，，，由此利用条件概率能求出该职工确实患该疾病的概率．【详解】解：（1）设方案一中每组的化验次数为X，则X的取值为1，7，，∴X的分布列为：X17P0．9700．030

．故方案一的化验总次数的期望值为：次．设方案二中每组的化验次数为Y，则Y的取值为1，6，，，∴Y的分布列为：Y16P0．9750．025

．∴方案二的化验总次数的期望为次．∵，∴方案一工作量更少．（2）设事件A：血检呈阳性，事件B：患疾病，则由题意得，，，由条件概率公式可得，∴该职工确实患该疾病的概率．【点睛】本题考查了概率与数学期望的问题，解题的关键是熟记公式；本题还考查了条件概率的知识.21.某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试.这25位学生的考分编成如图所示的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（这里暂用x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同.(I)求这两个班学生成绩的中位数及x的值；(II)如果将这些成绩分为“优秀”(得分在175分以上，包括175分)和“过关”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率.参考答案：略22.对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有＞成立，则称函数是D上的J函数．（Ⅰ）当函数f（x）＝mlnx是定义域上的J函数时，求m的取值范围；（Ⅱ）若函数g（