第一章空间向量与立体几何知识点总结梳理-高二上学期数学人教B版选择性

新教材人教B版2019版数学选择性必修第一册第一章知识点清单目录第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量基本定理1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点、直线与空间向量1.2.2空间中的平面与空间向量1.2.3直线与平面的夹角1.2.4二面角1.2.5空间中的距离第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算一、空间向量的概念名称定义空间向量空间中既有大小又有方向的量称为空间向量(简称为向量)，空间向量的大小称为向量的模(或长度)单位向量模等于1的向量零向量始点和终点相同的向量，规定零向量与任意向量平行相等向量大小相等、方向相同的向量相反向量大小相等、方向相反的向量平行(共线)向量如果两个非零向量的方向相同或者相反，那么称这两个向量平行(共线)共面向量对于空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面二、空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法三角形法则：a+b=OA+AB平行四边形法则：a+b=OA+OC=OB减法三角形法则：a-b=OA-OC=CA数乘(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：①当λ>0时，与a的方向相同；②当λ<0时，与a的方向相反.(2)当λ=0或a=0时，λa=0运算律(λ，μ∈R)交换律a+b=b+a结合律(a+b)+c=a+(b+c)，λ(μa)=(λμ)a分配律(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb三、空间向量的数量积1.向量的数量积两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cos<a，b>,其中<a，b>为a与b的夹角，范围为[0，π].规定零向量与任意向量的数量积为0.2.空间向量数量积的几何意义（1）两个向量数量积的几何意义与投影有关.一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B,则向量AB称为a在直线l(或平面α)上的投影.（2）a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积，即向量a在向量b上的投影的数量为a⋅b|b|=|a|cos<a，b>3.空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b=0；(2)a·a=|a|2=a2；(3)|a·b|≤|a||b|；(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)；(5)a·b=b·a(交换律)；(6)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).四、向量的数量积1.求两个向量的数量积的方法(1)当所求数量积中两向量的夹角和模已知时，直接利用a·b=|a||b|cos<a，b>求解.(2)当所求数量积中两向量的夹角和模未知，但其他向量的模和夹角已知时，将所求数量积中两向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的数量积运算律展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)利用向量数量积的几何意义求解.2.向量数量积的应用(1)利用数量积求向量的夹角(或夹角的余弦值)：可利用cos<a，b>=a⋅b|a||b|求两个向量的夹角(或夹角的余弦值).若不共线的两个向量的数量积大于0，则它们之间的夹角为锐角；若两个非零向量的数量积等于0，则它们之间的夹角为直角；若不共线的两个向量的数量积小于0，则它们之间的夹角为钝角(2)利用数量积求向量的模：求以两点为端点的有向线段表示的向量的模的问题时，一般将此向量表示为已知的几个向量的和或差的形式，求出已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|=a⋅a(推广公式：|a±b|=(a±b)1.1.2空间向量基本定理一、共面向量定理1.共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，那么存在唯一的实数λ，使得b=λa.2.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c=xa+yb.二、空间向量基本定理1.空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.2.基底如果空间中的三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量，这时a，b，c组成空间向量的一组基底，记为{a，b，c}，其中a，b，c都称为基向量；表达式xa+yb+zc称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式.三、共面向量定理的应用1.证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量共面：利用已知条件将其中一个向量表示成另外两个向量的线性组合，即若p=xa+yb，则向量p，a，b共面.(2)四点共面：①MP=xMA+yMB；②OP=OM+xMA+yMB；③OP=xOA+yOB+zOM(x+y+z=1)；④PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM).(O为空间任一点，x，y，z∈R)四、空间向量基本定理的应用1.用基底表示向量若未给定基底，首先根据已知条件确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基底.基底确定后，利用向量加法的三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换，把目标向量逐步分解，向基底靠近，最后化简整理求出结果.1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系一、空间向量的坐标与运算1.空间向量的坐标如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p=(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量.2.空间向量坐标的运算设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R.名称坐标表示线性运算a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)λa=(λa1，λa2，λa3)数量积a·b=a1b1+a2b2+a3b3模|a|=a⋅a=a夹角cos<a，b>=a⋅b|a||b|=a1b1+a2b2平行a∥b(a≠0)⇔b=λa⇔b1=λa1，b2=λa2，b3=λa3垂直a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0二、空间直角坐标系1.空间直角坐标系：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.2.相关概念在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴；通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面，它们把空间分成八个部分，如图所示. 注意：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直.3.空间直角坐标系下点的坐标空间一点M的位置完全由有序实数组(x，y，z)确定，因此将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z).此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标).4.空间直角坐标系中对称点的问题常常用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论来解决.(1)点(a，b，c)关于原点O的对称点为(-a，-b，-c)；(2)点(a，b，c)关于x轴的对称点为(a，-b，-c)；(3)点(a，b，c)关于y轴的对称点为(-a，b，-c)；(4)点(a，b，c)关于z轴的对称点为(-a，-b，c)；(5)点(a，b，c)关于xOy平面的对称点为(a，b，-c)；(6)点(a，b，c)关于yOz平面的对称点为(-a，b，c)；(7)点(a，b，c)关于zOx平面的对称点为(a，-b，c).三、空间向量坐标的应用1.两点之间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，O是坐标原点，则P1P2=OP2-OP1=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)，所以P12.中点坐标公式：已知空间中的两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则线段P1P2的中点的坐标为x1四、利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题1.与向量坐标有关的平行、垂直问题主要有两种类型：一是判定平行或垂直；二是已知平行或垂直求参数.2.利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题的一般步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标；(2)求出相关向量的坐标；(3)设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，利用“a∥b(a≠0)⇔b=λa(λ∈R)⇔b1=λa1，b2=λa2，b3=λa3”“a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0”建立关系；(4)得出结论.五、利用空间向量的坐标运算求夹角、模(或长度)1.利用空间向量的坐标运算求夹角、模(或长度)的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标；(2)求出相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求两向量的夹角，利用两点之间的距离公式求线段的长度.1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点、直线与空间向量1.2.2空间中的平面与空间向量一、空间中点、直线的向量表示及平面的法向量1.点的位置向量一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量OP唯一确定，此时，OP通常称为点P的位置向量.2.直线的方向向量一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.3.平面的法向量(1)平面的法向量的概念：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量.此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α.(2)求平面的法向量的步骤：①设平面的一个法向量为n=(x，y，z)；②在平面内找两个不共线向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)；(可以利用平面上点的坐标来求向量的坐标)③建立方程组n⋅a④解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两个未知量的未知量赋予特殊值(不能取0，赋值时一般尽量保证x，y，z∈Z，这样求得的法向量在后续解题运算中更为简便)，从而得到平面的一个法向量.二、空间中线面的位置关系位置关系向量表示线线平行设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则u1∥u2⇔l1∥l2或l1与l2重合线面平行设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则l∥α或l⊂α⇔u⊥n面面平行设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔n1∥n2线线垂直设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2线面垂直设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n面面垂直设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔u1⊥u2三、空间中两条直线所成的角设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ=<v1，v2>或θ=π-<v1，v2>.特别地，sinθ=sin<v1，v2>，cosθ=|cos<v1，v2>|.注意：异面直线所成角的范围为0，四、三垂线定理及其逆定理1.三垂线定理如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.三垂线定理可表述为：设l为平面α的一条斜线，l'是l在平面α内的射影，直线a⊂α，若a⊥l'，则a⊥l.2.三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.三垂线定理的逆定理可表述为：设l为平面α的一条斜线，l'是l在平面α内的射影，直线a⊂α，若a⊥l，则a⊥l'.五、利用空间向量解决平行问题1.利用空间向量证明线线平行(1)基底法：用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过线性运算，证明方向向量共线即可.(2)坐标法：建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量的坐标之间的线性关系进行证明.2.利用空间向量证明线面平行(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)根据线面平行的判定定理，要证明一条直线和一个平面平行，只需在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可，需要特别说明的是已知直线不在平面内.3.利用空间向量证明面面平行(1)证明两个平面的法向量平行.(2)转化为线面平行、线线平行来证明.六、利用空间向量解决垂直问题1.利用空间向量证明线线垂直只需证明两直线的方向向量垂直即可.2.利用空间向量证明线面垂直(1)基底法：先用基底分别表示直线与平面内两条相交直线的方向向量，然后利用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积分别为0得到线线垂直，从而得到线面垂直.(2)坐标法：建立空间直角坐标系，证明直线的方向向量与平面的法向量平行.3.利用空间向量证明面面垂直(1)利用两个平面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.(2)直接求解两个平面的法向量，证明两个平面的法向量垂直，从而得到两个平面垂直七、利用空间向量求异面直线所成的角(或夹角的余弦值)1.利用空间向量求异面直线所成的角(或夹角的余弦值)的方法(1)坐标法：①建立适当的空间直角坐标系，并写出相应点的坐标；②求出两条异面直线的方向向量；③利用公式cos<a，b>=a⋅b|a||b|求向量夹角的余弦值④将所求向量夹角的余弦值加上绝对值，得异面直线所成角的余弦值，进而求出异面直线所成角的大小.注意：适合建立空间直角坐标系的优先选择此法.(2)基底法：在一些不适合建立坐标系的题目中，我们经常用基底法.在由公式cos<a，b>=a⋅b|a||b|求向量a，b的夹角时，一般是把a，b用一组基底表示出来，八、利用空间向量解决立体几何中与平行、垂直相关的探索性问题1.存在、判断型：先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程“是否有解”或“是否有规定范围内的解”的问题.若有解且满足题意，则存在；若有解但不满足题意或无解，则不存在.2.位置探究型：借助向量，引入参数，综合题目信息列关系式，解出参数，从而确定位置.1.2.3直线与平面的夹角1.2.4二面角一、直线与平面的夹角1.直线与平面的夹角的有关概念如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为90°；如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内,则称这条直线与这个平面所成的角为0°.平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角.直线与平面所成的角也称为它们的夹角.2.斜线与平面所成角的性质如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A'为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A'M⊥OM.记∠AOA'=θ1，∠A'OM=θ2，∠AOM=θ，则cosθ=cosθ1cosθ2. 3.用空间向量求直线与平面的夹面如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ=π2-<v，n>或θ=<v，n>-π2.特别地，cosθ=sin<v，nsinθ=|cos<v，n>|.注意：直线与平面所成角的范围为0，二、二面角1.二面角的定义如图所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角. 2.用空间向量求二面角如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ=<n1，n2>或θ=π-<n1，n2>.特别地，sinθ=sin<n1，n2>. 

 注意：二面角的平面角的范围为[0，π].三、利用空间向量研究线面角、二面角1.用空间向量求线面角的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系，并写出相应点的坐标；(2)求出直线的方向向量a的坐标以及平面的法向量b的坐标；(3)计算：设线面角的大小为θ，利用sin