上海市嘉定区徐行中学高三数学理摸底试卷含解析

上海市嘉定区徐行中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在的展开式中的系数是

（

）

A．240

B．15

C．－15

D．－240参考答案：答案：D2.参考答案：B3.阅读如图所示的程序框图，输出结果的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知p：?x∈R，x2﹣x+1＞0，q：?x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q参考答案：C【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出其复合命题的真假即可．【解答】解：关于p：?x∈R，x2﹣x+1=+＞0，成立，故命题p是真命题，关于q：?x∈（0，+∞），sinx＞1，∵?x∈（0，+∞），sinx≤1，故命题q是假命题，故p∨￢q是真命题，故选：C．5.设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．6.若函数的导函数,则函数的单调递减区间是

(

)

参考答案：A7.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+）内有1006个零

点，则f（x）的零点共有（

）

A．1006个

B.100个C．2012个

D．2013个参考答案：D略8.已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则＝()A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}参考答案：B9.复数(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D10.程序框图如右图所示，则输出的值为(

)A．15 B．21 C．22

D．28参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线方程为

．

参考答案：12.已知圆割线交圆于两点，割线经过圆心，已知,,;则圆的半径是

.参考答案：设半径为R.根据割线定理有ＰＢ×ＰＡ=ＰＣ×ＰＤ解得，Ｒ＝

13.已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+a2）的图象关于x=2对称，则a的值为

．参考答案：4【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题；数形结合．【分析】由题意，先研究函数的定义域，当a=0时不合题意，当a≠0时，定义域为R，故函数的对称轴即内层函数的对称轴【解答】解：由题意，a=0时不合题意当a≠0时，△=﹣3a2＜0，定义域为R，又内层函数的对称轴为x=∵函数f（x）=log2（x2﹣ax+a2）的图象关于x=2对称∴x==2∴a=4故答案为4【点评】本题考查函数图象的对称性，求解本问题的关键是由函数的解析式得出函数的对称轴即内层函数的对称轴，由此关系建立方程求出参数的值即可．14.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=r，记点P的轨迹长度为f（r），则关于r的方程的解集为．参考答案：【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据条件确定P的轨迹，利用轨迹对应的长度关系即可得到结论．【解答】解：P的轨迹为以A为球心，PA为半径的球面与正方体的交线．当0＜r≤1时，f（r）=3×=，当r∈（1，]时，轨迹长度由减小到增加，之后逐渐减小，由于f（1）=f（）=，∴关于r的方程的解集为，故答案为．15.如图，F1，F2是双曲线C：的的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为

.参考答案：略16.观察以下三个等式：⑴；⑵；⑶，归纳其特点可以获得一个猜想是：

．

参考答案：略17.设正三棱柱ABC﹣A'B'C'中，，则该正三棱柱外接球的表面积是．参考答案：20π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．【解答】解：由正三棱柱的底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=2，又由正三棱柱的高为2，则球心到圆O的球心距d=1，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2=r2+d2=5，∴外接球的表面积S=4πR2=4π×5=20π．故答案为：20π．【点评】本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数(，e是自然对数的底数).（1）设(其中是的导数)，求的极小值；（2）若对，都有成立，求实数a的取值范围．参考答案：(1)(2)【分析】(1)求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，结合单调性可求得函数的极值；(2)由(1)知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，.讨论当时，当时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数的取值范围.【详解】(1)，.令，∴，∴在上为增函数，.∵当时，；当时，，∴的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为，∴.(2)由(1)知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，∴.当时，，在上单调递增，，满足条件；当时，.又∵，∴，使得，此时，，；，，∴在上单调递减，，都有，不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.19.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.(Ⅰ)求C1、C2交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值.

参考答案：(Ⅰ)，，∴，∴.联立方程组得，解得，，∴所求交点的坐标为，.………5分(Ⅱ)设，则.∴的面积∴当时，.

………10分

20.某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，

参考答案：(1)

（2）约6800元

（1）

21.设直线l：y=kx+1与曲线f（x）=ax2+2x+b+ln（x+1）（a＞0）相切于点P（0，f（0））．（1）求b，k的值；（2）若直线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值．参考答案：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，由切线y=kx+1，可得f（0）=1=b，∴f'（x）=，∴f′（0）=﹣1，切点P（0，1），切线l的斜率为k=﹣1；（2）切线l：y=﹣x+1与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1，即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），∵h（0）=0，∴方程h（x）=0有一解x=0h'（x）=2ax﹣1+，①若a=，则h'（x）=≥0（x＞﹣1），∴h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；②若0＜a＜，则h′（x）=0两根x1=0，x2=﹣1＞0，在x∈（﹣1，0），（x2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，在（0，x2）时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴h（）＜h（0）=0，而h（）＞0，∴方程h（x）=0在（﹣1，+∞）上还有一解，则h（x）=0解不唯一；③若a＞，则h′（x）=0两根x1=0，x2=﹣1∈（﹣1，0）同理可得方程h（x）=0在（﹣1，﹣1）上还有一解，则h（x）=0解不唯一；综上，当切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点时，a=考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；分类讨论；转化思想；导数的概念及应用．分析：（1）根据导数的几何意义，求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，可得b=1，k=﹣1；（2）将切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），求出h'（x），然后讨论a与的大小，研究函数的单调性，求出满足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范围即可．解答：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，由切线y=kx+1，可得f（0）=1=b，∴f'（x）=，∴f′（0）=﹣1，切点P（0，1），切线l的斜率为k=﹣1；（2）切线l：y=﹣x+1与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1，即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），∵h（0）=0，∴方程h（x）=0有一解x=0h'（x）=2ax﹣1+，①若a=，则h'（x）=≥0（x＞﹣1），∴h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；②若0＜a＜，则h′（x）=0两根x1=0，x2=﹣1＞0，在x∈（﹣1，0），（x2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，在（0，x2）时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴h（）＜h（0）=0，而h（）＞0，∴方程h（x）=0在（﹣1，+∞）上还有一解，则h（x）=0解不唯一；③若a＞，则h′（x）=0两根x1=0，x2=﹣1∈（﹣1，0）同理可得方程h（x）=0在（﹣1，﹣1）上还有一解，则h（x）=0解不唯一；综上，当切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点时，a=．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的思想，以及计算能力，属于中档题，综合题22.（本小题满分