2022年湖南省常德市青峰煤矿职工子弟学校高二数学理联考试卷含解析

2022年湖南省常德市青峰煤矿职工子弟学校高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.中，则等于（A）10

（B）

（C）

（D）参考答案：B2.下列结论正确的是（） A．x＞1?＜1 B．x+≥2 C．x＞y?=＜ D．x＞y?x2＞y2参考答案：A【考点】不等式的基本性质． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】A．x＞1?＜1； B．x＜时不成立； C．取x＞0，y＜0，不成立； D．取x=﹣1，y=﹣2，不成立． 【解答】解：对于A．x＞1?＜1，正确； 对于B．x＜时不成立； 对于C．取x＞0，y＜0，则不成立； 对于D．取x=﹣1，y=﹣2，不成立． 只有A正确． 故选；A． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 3.登上一个四级的台阶(可以一步上四级），在所有行走方式中恰有一步是两级的概率（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B4.下列命题中的假命题是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160，175]cm的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为（）A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2参考答案：C【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】该班同学的身高共3类：（1）身高小于160cm，（2）身高在[160，175]cm，（3）身高超过175cm，由概率和为1可得结论【解答】解：由题意可得该班同学的身高共3类：（1）身高小于160cm，（2）身高在[160，175]cm，（3）身高超过175cm，他们的概率和为1，∴所求概率P=1﹣0.2﹣0.5=0.3故选：C【点评】本题考查概率的性质，属基础题．6.下列函数为偶函数的是A、

B、

C、

D、参考答案：D7.函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内有极小值点（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：A略8.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（

）A．B．C．

D．参考答案：A9.演绎推理中的“三段论”是指

(

)A．第一段、第二段、第三段

B．大前提、小前提、结论C．归纳、猜想、证明

D．分三段来讨论

参考答案：B略10.已知f(x)＝x3的所有切线中，满足斜率等于1的切线有()A．1条B．2条

C．多于两条

D．以上都不对参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④共面的三个向量是指平行于同一个平面的的三个向量；⑤已知空间的三个不共线的向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.

其中正确命题是

.

参考答案：－y2＝1.

④12.在△ABC中，边AB=，它所对的角为60°，则此三角形的外接圆直径为

．参考答案：1【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】直接利用正弦定理求出三角形的外接圆的直径即可．【解答】解：由正弦定理可知：2R===1．故答案为：1．【点评】本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理的应用，考查计算能力．13.通过观察所给两等式的规律：①②请你写出一个一般性的命题：__________________________参考答案：14.在△ABC中，下列关系式：

①asinB＝bsinA； ②a＝bcosC＋ccosB；

③a2＋b2－c2＝2abcosC； ④b＝csinA＋asinC，一定成立的个数是_________.参考答案：3略15.对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式：

根据上述分解规律，则，若的分解中最小的数是91，则的值为

。参考答案：1016.若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=

．参考答案：1【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得．【解答】解：展开式的通项为=（﹣a）rC9rx9﹣2r令9﹣2r=3得r=3∴展开式中x3的系数是C93（﹣a）3=﹣84a3=﹣84，∴a=1．故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．17.设不等式ax2+bx+c>0的解集为｛｝，则_______________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程。参考答案：

又

直线的方程为19.（本小题满分16分）已知数列满足，且,（1）求、、；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）是否存在常数，使数列成等差数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）∵，将n=1代入已知等式得，

同法可得，

。

（2）∵，，，，∴由此猜想

。

下面用数学归纳法证明。

①当n=1和2时猜想成立；

②假设当n=k（k≥2）时猜想成立，即，

那么，当n=k+1时，因为，

所以=(k+1)(2k+3)

这就是说当n=k+1时猜想也成立。因此成立

（3）假设存在常数c使数列成等差数列，则有

把，，代入得

。

当时，数列即为{2n+1}是公差为2的等差数列；

当时，数列即为{2n}是公差为2的等差数列。

∴存在常数使数列成等差数列。略20.已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅲ）若?x1∈，?x2∈，使g（x1）≤f′（x2）+2a成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；63：导数的运算；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）利用导数的运算法则可得g′（x），分别解出g′（x）＞0，g′（x）＜0，即可得出其单调区间；（II）函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，可得f′（x）≤0恒成立，即≤0恒成立．通过分离参数转化为．，再利用二次函数的单调性即可得出；（III））由于?x1∈，?x2∈，使g（x1）≤f′（x2）+2a成立，可得．分别利用导数和二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）（x＞0且x≠1）．令g′（x）＞0，解得，x＞e，因此函数g（x）在区间（e，+∞）单调递增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜e且x≠1，因此函数g（x）在区间（0，1），（1，e）单调递减．（II）f（x）=g（x）﹣ax=（x＞1）．f′（x）=．∵函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，∴f′（x）≤0恒成立，即≤0恒成立．∴．∵x＞1，∴lnx＞0，∴=≤，当lnx=2，即x=e2时取等号．∴．∴实数a的最小值是．（III）∵?x1∈，?x2∈，使g（x1）≤f′（x2）+2a成立，∴．由（I）可知：g（x1）在上单调递增，∴g（x1）max=g（e2）=．∵x∈，∴1≤lnx≤2，∴．令h（x）=f′（x）+2a=﹣a+2a==+≤a+．∴+．∴实数a的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21.（本小题满分13分）某企业自2012年1月1日起正式投产，环保监督部门从该企业投产之日起对它向某湖区排放的污水量进行了三个月的监测，监测的数据如下表，并预测，如果不加以治理，该企业每月向湖区排放的污水量将成等比数列.月份1月2月3月该企业向湖区排放的污水量（单位：万立方米）124（1）如果不加以治理，求从2012年1月起，m个月后，该企业总计向湖区排放了多少万立方米的污水；（2）为保护环境，当地政府和企业从7月份开始投资安装污水处理设备，预计7月份的污水排放量比6月份减少4万立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少4万立方米，当企业的污水排放量为零后，再以每月25万立方米的速度处理湖区中的污水。请问什么时候可以使湖区中的污水不多于50万立方米.参考答案：解：（1）每月污水排放量构成等比数列，且，

…………2分

……………4分（2）设治理后每月污水扥排放量构成的数列为，由已知它构成等差数列

其中，……………5分

则……………6分

当时，故到2013年2月排放量为0……………7分此时湖中共有污水………10分

则治理t个月后……………12分

到2013年6月时湖中的污水不多于50万立方米…13分略22.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，AP=AB=2，F是PB的中点，E是BC上的动点．（1）证明：PE⊥AF；（2）若BC=2BE=4，求直线AP与平面PDE所成角的大小．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系．设BE=a，证明：，即可证明PE⊥AF；（2）求出平面PDE的法向量，即可求直线AP与平面PDE所成角的大小．【解