4最值系列之胡不归问题

4最值系列之胡不归问题

最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中，往往都是求某个线段的最值或者形如PA+PB的最值。除此之外，我们还可能会遇上形如“PA+kPB”的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆。本文简单介绍“胡不归”模型。【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途。当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭。邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACBC的值最小。【问题分析】我们可以构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC。将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小。【模型总结】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型。而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段。【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+5BD的最小值是_______。【分析】本题关键在于处理“sin∠ABE/BD”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，即5:10:√29，故作DH⊥AB交AB于H点，则DH=BD。BBC问题可以转化为CD+DH的最小值，当且仅当C、D、H三点共线时取得最小值，此时CD+DH=CH=BE=45。解决这个问题的关键是作出垂线DH，而题目已经给出了BA线，只需分析角度的三角函数值即可。如果稍作改变，将图形改造为EDBC，则需要自行构造α，如下图所示。在图中，我们需要构造一个角度α，使得sinα=3/5，且∠A=60°。这一步是解决“胡不归”问题的关键所在。在南通中考的这道题中，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点。我们可以构造一个三角形，使得∠A=60°，∠B=30°，∠H=90°，且BH垂直于AD。这样，当B、P、H三点共线时，PB+PH的值取得最小值，即BH的长。解直角△ABH即可得BH长，从而得到PB+PH的最小值。在成都中考的这道题中，已知抛物线y=k(x+2)(x-4)（k为常数，且k>0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-3x+b与抛物线的另一交点为D。第一小问需要代入点坐标，求解析式。第二小问需要求点M在整个运动过程中用时最少时，点F的坐标。我们可以构造一个三角形，使得BD与x轴夹角为30°，且DF方向不变。这样，点M运动的时间为AF+DF的最小值。2DM平面几何问题：在平面直角坐标系中，过点F作FH垂直于DM交DM于点H，则对于任意位置，都有FH等于当点A、F、H共线时取到的最小值。根据点A、D的坐标，可以得到结果。考虑以下数学问题：给定抛物线y=-2x^2+3的顶点B（点A在点B的左侧），直线x-x1+6与x轴交于点A，与y轴交于点C。点P是直线AC上方抛物线上的一点，PF垂直于x轴，交线段AC于点E。将线段OB沿x轴左右平移，得到对应线段O1B1。求当PE+EC的值最大时，四边形PO1B1C的周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。根据抛物线的解析式，可以得到点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（0，0），点C的坐标为（0，6）。直线AC的解析式为y=3x+6，与x轴夹角为30°。考虑如何使PE+EC的值最小。过点E作EH垂直于y轴交y轴于点H，则∠CEH=30°，因此CH=EC/2。问题转化为如何使PE+CH最小。考虑代数法计算，设P的坐标为（m，-2m-6/3），则PE=-2m-6/3，CH=-m。因为PE与CH没有公共端点，所以可以将它们表示为m的函数。计算PE+CH，得到PE+CH=-