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曲线积分与路径无关的条件一、区域连通性的分类二、格林公式三、简单应用四、曲线积分与路径无关的定义一、区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxodDcCE证明(2)D两式相加得GDFCEAB证明(3)由(2)知xyoL1.简化曲线积分三、简单应用AB2.简化二重积分xyo解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件)3.计算平面面积解其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。11-1-1LDyxO格林公式的应用（格林公式）从证明了：

练习1计算积分解①②③④练习2求星形线所界图形的面积。解yxODL11-1-1重要意义：1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用

3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。四、曲线积分与路径无关的定义如果对于区域

G内任意指定的两点

A、B

以及

G内从点

A

到点

B

的任意两条曲线L1，L2

有GyxoBA===0所以===于是，在内应用格林公式，有与路径无关.L与路径无关解因此，积分与路径无关。则P，Q在全平面上有连续的一阶偏导数，且全平面是单连通域。取一简单路径：L1+L2.因此，积分与路径无关。全平面是单连通域。解因此，积分与路径无关。则P，Q在全平面上有连续的一阶偏导数，且全平面是单连通域。因此，积分与路径无关。全平面是单连通域。取一简单路径：L1+L2.解例7验证：在xoy面内，是某个函数u(x,y)的全微分，并求出一个这样的函数。这里且在整个xoy面内恒成立。即，因此，在xoy面内，是某个函数u(x,y)的全微分。解1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用.——格林公式;五、小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题作业：P231:1,2,3,4,5,6,7.若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题思考题解答由两部分组成外边界：内边界：36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙

37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科

38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·

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