天津市和平区2020届高三第二次质量调查（二模）数学试题Word版含答案

天津市和平区2020届⾼三第⼆次质量调查（⼆模）数学试

题Word版含答案

和平区2020届⾼三第⼆次质量调查（⼆模）数学

温馨提⽰：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！

第Ⅰ卷选择题（共45分）

注意事项:

1.答第Ⅰ卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考号、科⽬涂写在答题卡上。

2.每⼩题选出答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊。如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。答

在试卷上的⽆效。

3.本卷共9⼩题，每⼩题5分，共45分。

如果事件

BA，互斥,那么?如果事件BA，相互独⽴,那么

)()()(BPAPBAP+=Y)()()(BPAPABP=.

锥体的体积公式ShV31=

.?球体33

4RV=其中S表⽰锥体的底⾯积,其中R为球的半径.

h表⽰锥体的⾼.

⼀、选择题：在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1．设复数()2zaiaR=+的共轭复数为z，且2zz

+=，则复数2zai

-在复平⾯内对应

点位于（）A．第⼀象限B．第⼆象限

C．第三象限

D．第四象限

2．设Rx，则"3

1x<"是"11||22

x-<"的（）

A．充分⽽不必要条件

B．必要⽽不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知：11ln4a=，1

13e

b??=

，11log3ec=，则

的⼤⼩关系为（）A．cab>>B．cba>>

C．bac>>

D．abc>>

4．已知甲、⼄两⼈独⽴出⾏，各租⽤共享单车⼀次（假定费⽤只可能为1、2、3元）．甲、⼄租车费⽤为1元的概率分别是

0.5、0.2，甲、⼄租车费⽤为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、⼄两⼈所扣租车费⽤相同的概率为（）A．0.18

B．0.3

C．0.24

D．0.36

5．在ABC?中，⾓A、B、C的对边分别为a、b、c，若1a=，23c=，

cba,,

sinsin3bAaB??

=-

，则sinC=（）

A

B

．7

C

．

12

D

6．已知双曲线22

2:1(0)3

xyCaa-=>的右焦点为F，圆222xyc+=（c为双曲线的半焦距）

与双曲线C的⼀条渐近线交于,AB两点，且线段AF的中点M落在另⼀条渐近线上，则双曲线C的⽅程是()

A．22

143

xy-=

B．2

2

133yx-=C．

22123xy-=D．22

13

yx-=7．把函数()sin2(0)6fxAxA??

=-

??

的图象向右平移4

个单位长度，得到函数()gx的图象，若函数()()0gxmm->是偶函数，则实数m的最⼩值是（）A.

6

B.56

C.

512

D.

12

8．已知a、0b>，2

1baba??-=??

，则当1ab+取最⼩值时，2

21ab+的值为()

A．2

B

．C．3

D.4

9．已知函数()21,0121,0

x

xfxxxxx-??

=+??++

点，则k的取值范围是()

A．(－2

0]92B

．(－2

0]92??

C．(－2

，0]12D

．(－2

0]12

第Ⅱ卷⾮选择题（共105分）

注意事项:

1.⽤⿊⾊⽔笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的⽆效。

2.本卷共11⼩题，共105分。

⼆、填空题：本⼤题共6⼩题,每⼩题5分,共30分.把答案填在答题卷上.

10．已知全集为R，集合{}1,0,1,5M=-，{}

2

20Nxxx=--，则()RMCN=I

___________．

11．6

212xx??-??

的展开式中，21x项的系数为.12．已知()fx是定义在R上的

偶函数，且在区间(,0]-上单调递增，若实数a满⾜

()()

3log22aff>-，则a的取值范围是___.

13．农历五⽉初五是端午节，民间有吃粽⼦的习惯，粽⼦⼜称粽籺，俗称"粽⼦"，古称"⾓

⿉"，是端午节⼤家都会品尝的⾷品，传说这是为了纪念战国时期楚国⼤⾂、爱国主义诗⼈屈原.如图，平⾏四边形形状的纸⽚

是由六个边长为1的正三⾓形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所⽰粽⼦形状的六⾯体，则该六⾯体的体积为；若该

六⾯体内有⼀球，则该球体积的最⼤值为．

14．设抛物线2

2(0)ypxp=>的焦点为(1,0)F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B

两点，分别过A，B作l的垂线，垂⾜为C，D，若||4||AFBF=，则p=；.

15．已知平⾏四边形ABCD的⾯积为3，23

BAD∠=

，E为线段BC的中点．则ADDC?=

uuuruuur_______若F为线段

;

DE上的⼀点，且56

AFABAD=+uuuruuuruuur

，则AFuuur的最⼩值为___________．

三、解答题：本⼤题共5⼩题,共75分.解答应写出⽂字说明,证明过程或演算步骤.16.(本⼩题满分14分)

为了进⼀步激发同学们的学习热情，某班级建⽴了数学、英语两个学习兴趣⼩组，两组的⼈数如下表所⽰：

组别

性别

数学英语男5

1

⼥

33

现采⽤分层抽样的⽅法(3名同学进⾏测试．（Ⅰ）求从数学组抽取的同学中⾄少有1名⼥同学的概率；

（Ⅱ）记为抽取的3名同学中男同学的⼈数，求随机变量的分布列和数学期望．17．(本⼩题满分14分)

如图，四边形ABCD为平⾏四边形，90ABD?∠=，EB⊥平⾯ABCD，

∥，3,1EBEF==，13BC=M是BD的中点.（Ⅰ）求证：∥平⾯ADF；（Ⅱ）求⼆⾯⾓DAFB--的⼤⼩；

（Ⅲ）线段EB上是否存在点P，使得直线CP与直线AF所成的⾓为30o？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由.

18．(本⼩题满分15分)

已知椭圆22

221(0)xyabab

+=>>的离⼼率为12，且过点312?????，.F为椭圆的右焦点，

,AB为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AFBF分别交椭圆于,CD两点.

（Ⅰ）求椭圆的标准⽅程；

=?CDFSEM

2,=ABAB

EF

（Ⅱ）若AFFC=，求BF

FD

的值；（Ⅲ）设直线AB，CD的斜率分别为1k，2k，是否存在实数m，使得21kmk=，若存在，求出m的值；若不存在，

请说明理由.

19．(本⼩题满分16分)

已知数列{}na是公差不为0的等差数列，13

2

a=

，数列{}nb是等⽐数列，且11ba=，23ba=-，34ba=，数列{}nb的前n项和为nS．

（Ⅰ）求数列{}nb的通项公式；

（Ⅱ）设,5

8,6

nnnbncan?=??，

求{}nc的前n项和nT；（Ⅲ）若1

n

n

AS

BS-对*nN恒成⽴，求BA-的最⼩值．20．(本⼩题满分16分)

已知函数()sin,0,

2x

x

fxeexx??

=-

(e为⾃然对数的底数)．（Ⅰ）求函数()fx的值域；

（Ⅱ）若不等式()()()11sinfxkxx--对任意0,2x??

恒成⽴，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）证明：2

1

13122xe

x-??

>--+

.和平区2019-2020学年度第⼆学期⾼三年级第⼆次质量调查

数学学科参考答案

⼀、选择题：（45分）.

1.A

2.B

3.A

4.B

5.B

6.D

7.C

8.C

9.D⼆、填空题：（30分）

10.{}0,111.24012

.(13

.

6

14.2;515.-9

三、解答题：

(16)(本⼩题满分14分)

解:（Ⅰ）两⼩组的总⼈数之⽐为8∶4＝2∶1，共抽取3⼈，所以数学组抽取2⼈，英语组抽取1⼈．

从数学组抽取的同学中⾄少有1名⼥同学的情况有：1名男同学、1名⼥同学；

2名⼥同学.

所以所求概率14

9

2

8231

513=+=CCCCP.4分).(*Nn

（Ⅱ）由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3，5分

112

9)0(141

32823=?=

=CCCCP73

11248)1(141

128231413281513=

=?+?==CCCCCCCCCP11245

)2/p>

1281513=?+?==CCCCCCCCCP56511210)3(14112825==

==CCCCP所以的分布列为:

＝0×9112＋1×37＋2×45112＋3×556＝3

2

.14分17.(本⼩题满分14分)

解:（Ⅰ）证明：因为EB⊥平⾯ABD，ABBD⊥，故以B为原点，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系Bxyz-.由已知可得各点坐标

为:

(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0)BAD，(3,2,0),CE-3,,0,02FM??

3,0,,(3,2,0),(0,2EMADAF?==-=-?uuuuruuu

ruuur2分

设平⾯ADF的⼀个法向量是(,,)xyz=n

由00

nADnAF??=??=?uuuv

uuuv得320

0xyy-=-=??

令y=3，则=n

⼜因为3,0,30302EMn??=?=+-=?uuuur，4分

所以EM⊥nuuuur

，⼜EM?平⾯ADF，

所以EM∥平⾯ADF6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平⾯ADF的⼀个法向量是=n.因为EB⊥平⾯ABD，所以EBBD

⊥⼜因为ABBD⊥，所以BD⊥平⾯EBAF.

故(3,0,0)BD=uuur

是平⾯EBAF的⼀个法向量.

8分

所以1

cos,2

||||BDBDBD?==nnnuuur

uuuruuu

r，⼜⼆⾯⾓DAFB--为锐⾓，故⼆⾯⾓DAFB--的⼤⼩为60o

9分

（Ⅲ）假设线段EB上存在点P，使得直线CP与直线AF所成的⾓为30o不妨设(0,0,)(0Ptt，则(3,2,),(0,PCtAF=--=-uuu

ruuur

10分

()E12分

10分

8分

6分

所以||cos,||||PCAFPCAFPCAF?==?uuuruuur

uuuruuuruuuruuur

11分

由题意得

化简得35-=

解得0t=<13分因为0t

即在线段EB上不存在点P，使得直线CP与直线AF所成的⾓为30o14分

18．(本⼩题满分15分)

解:（Ⅰ）设椭圆⽅程为22221(0)xy

abab+=>>，由题意知：221

2191

4caab?=+=??

解之得：2ab==??2

143xy+=3分

分所以椭圆⽅程为：22

（Ⅱ）若AFFC=，由椭圆对称性，知31,2A??

，所以31,2B??--

，此时直线BF⽅程为3430xy--=，

5分

由223430,

1,4

3xyxy--=??

+=

，得276130xx--=，解得137x=（1x=-舍去），6分

故()117

13

317

BFFD--==-．7分（Ⅲ）①若直线AF的斜率不存在.则直线AF的⽅程为：.35

35.

2517

1323149,23)1(12323.

149,713,23,1,23,1,23,11221满⾜题意，即存在此时：==∴=-

--==--?--=

∴??????????-????

--?????mkkkkDCBA

②若直线AF的斜率存在.设00,)A

xy（，则()00,Bxy--，直线AF的⽅程为()0011yyxx=

--，代⼊椭圆⽅程22143xy+=得:10分2313

2322=

+-tt()0241586150202020=+---xxx

yxx1

=x9分

因为0xx=是该⽅程的⼀个解，所以C点的横坐标0

8552Cxxx-=-，

⼜(),cCCxy在直线()0011yyxx=--上，所以()00

031152Ccyyyxxx-=-=--，同理，D点坐标为0085(

52xx++，

3)52yx+，13分所以00

00021

00000

33525255

8585335252yyxxykkxxxxx--

+-=

==+--

+-，即存在53m=

，使得215

3

kk=．14分综合①②知存在5

3

m=满⾜题意.15分

19．(本⼩题满分16分)

解:（Ⅰ）设等差数列{}na的公差为d，等⽐数列{}nb的公⽐为q，

则由题意可得23

3222

33322dqdq?+=-+=??

，解得1238qd?=-=-

或10qd=-??=?，2分

∵数列{}na是公差不为0的等差数列，1

2

q∴=-

，∴数列{}nb的通项公式132n

nb??=-?-

；4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知33153(1)()288

nn

an-=+--=，5分

当5n时，1231122111212n

nnnTbbb??

--?????

=--???=+++=

--?

L，7分

当6n时，

32

927

227232

831583)5(8)21(12))(5(8)

(82565765765-

+-=?

-+-?

+--=+-?+=++++=++++=nnn-naanTaaaTcccTTnnnn

-+-

--=

,32

9272

272

∴6

35,2112nnnnTn

n

9分10分

12分

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知31122111212n

nn

S--???==--?--???

，11分令1

nn

tSS=-

，0nS>Q，∴t随着nS的增⼤⽽增⼤，12分当n为奇数时，112n

nS??=+

在奇数集上单调递减，351,,0,26ntS

，当n为偶数时，112n

nS??=-

在偶数集上单调递增，37,1,,0412nSt

-

，14分minmax75

,126tt∴=-=，

1

nn

AS

BS-Q对*nN恒成⽴，

75,[,]126AB??

∴-

，∴BA-的最⼩值为

571761212

--=?

．16分20.(本⼩题满分16分)

解:（Ⅰ）()ee(sincos)x

x

fxxx'=-+e(1sincos)x

xx=-

-e[1)]4

x

x

=+

[sin()42

xx=+-2分

2,0

x，3[,]444x∴+

，sin()42x∴+，

所以()0fx'，故函数()fx在[0,

]2

上单调递减，

故=max)(xf0

(0)eesin01f=-=；=min)(xf2

2()eesin022f

=-=，

所以函数()fx的值域为[0,1].5分

（Ⅱ）原不等式可化为e(1sin)(1)(1sin)x

xkxx---...(*)，

因为1sin0x-恒成⽴，故（*）式可化为e(1)x

kx-.6分令()ex

gxkxk=-+，则()ex

gxk'=-

①当0k时，()e0x

gxk'=->，所以函数()gx在[0,

]2

上单调递增，

故()(0)10gxgk=+，所以10k-；7分②当0k>时，令()e0x

g