【高优指导】高考数学一轮复习-第六章-数列-62-等差数列及其前n项和-文-北师大版课件

6.2等差数列及其前n考纲要求:1.理解等差数列的概念.

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.

4.了解等差数列与一次函数的关系.21.等差数列(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么这个数列就为等差数列,这个常数为等差数列的公差,公差通常用字母d表示.(2)数学语言:an+1-an=d(n∈N+,d为常数),或an-an-1=d(n≥2,d为常数).(3)等差中项:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项,即

.2.等差数列的通项公式(1)通项公式:若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.(2)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(m,n∈N+).345.等差数列的前n项和公式与函数的关系(2)数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).6.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.5123451.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(

)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(

)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2.(

)(4)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(

)(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(

)×

×

√√×

6123452.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=(

)A.-1 B.0 C.1 D.6答案解析解析关闭∵{an}是等差数列,∴2a4=a2+a6,∴a6=2a4-a2=2×2-4=0.答案解析关闭B7123453.(2015课标全国Ⅱ,文5)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=(

)A.5 B.7 C.9 D.11答案解析解析关闭答案解析关闭8123454.(2015陕西,文13)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭9123455.在小于100的正整数中,被7除余2的数的和为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭1012345自测点评1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.2.等差数列与函数的区别:当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数.3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.4.等差数列的前n项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式.11考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混考点1等差数列中基本量的求解

例1(1)(2015课标全国Ⅰ,文7)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=(

)答案解析解析关闭答案解析关闭12考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于(

)A.3 B.4 C.5 D.6答案:C

13考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混14考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混思考:求等差数列基本量的一般方法是什么?解题心得:1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.15考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混对点训练1

(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于(

)

A.8 B.10 C.12 D.14答案解析解析关闭设等差数列{an}的公差为d,则S3=3a1+3d,∴12=3×2+3d,解得d=2,∴a6=a1+5d=2+5×2=12,故选C.答案解析关闭C16考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭17考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混考点2等差数列的判定与证明

例2数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.答案答案关闭18考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混思考:判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些?解题心得:1.等差数列的四种判断方法:(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.2.若证明一个数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成等差数列即可.19考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混对点训练2

若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.

(1)求证:成等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.答案答案关闭20考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混考点3等差数列性质的应用(多维探究)

类型一

等差数列项的性质的应用例3在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=

.

思考:本例题只有一个已知条件,如何快捷地求出结果?答案解析解析关闭根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,∴a2+a8=10.答案解析关闭1021考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混类型二

等差数列前n项和的性质的应用例4在等差数列{an}中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为

.答案解析解析关闭答案解析关闭22考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混思考:本例题应用什么性质求解比较简便?解题心得:1.利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将an+am=2ap(m+n=2p,m,n,p∈N*)与am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,q∈N+)相结合,可减少运算量.2.在等差数列{an}中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列{an}中,数列Sm,

也是等差数列,且有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);.23考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混对点训练3

(1)(2015广州模拟)等差数列{an}前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于(

)

A.3 B.6 C.17 D.51答案解析解析关闭答案解析关闭24考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(2)已知等差数列{an}的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此等差数列的项数是

.

答案解析解析关闭答案解析关闭25考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(3)已知在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=

.

答案解析解析关闭∵{an}为等差数列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6).∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.答案解析关闭4526考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混考点4等差数列前n项和的最值问题

例5在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.27考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混28考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混思考:求等差数列前n项和的最值有哪些方法?解题心得:求等差数列前n项和Sn最值的两种方法:(1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看做二次函数,根据二次函数的性质求最值.(2)邻项变号法:①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,当a1>0,d<0时,满足

的项数m使得Sn取得最大值为Sm;当a1<0,d>0时,满足

的项数m使得Sn取得最小值为Sm.②利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.29考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混对点训练4

(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是(

)

A.5 B.6 C.7 D.8答案解析解析关闭依题意得2a6=4,2a7=-2,a6=2>0,a7=-1<0;又数列{an}是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n=6,选B.答案解析关闭B30考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(2)设数列{an}是公差d<0的等差数列,Sn为前n项和,若S6=5a1+10d,则Sn取最大值时,n的值为(

)A.5 B.6 C.5或6 D.11答案解析解析关闭由题意得S6=6a1+15d=5a1+10d,∴a6=0,故当n=5或6时,Sn最大,选C.答案解析关闭C31考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(3)已知等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭32考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混1.等差数列的判断方法:(1)定义法;(2)等差中项法;(3)利用通项公式判断;(4)利用前n项和公式判断.2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第2项起成等差数列.3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以考虑化归为a1和d等基本量,通过建立方程(组)获得解.33考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混1.当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数.2.注意利用“an-an-1=d