广东省梅州市兴宁田家炳中学2021年高二数学理下学期期末试题含解析

广东省梅州市兴宁田家炳中学2021年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.?x1∈（1，2），?x2∈（1，2）使得lnx1=x1+，则正实数m的取值范围是（）A． B． C．[3﹣3ln2，+∞） D．（3﹣3ln2，+∞）参考答案：B【考点】2H：全称命题．【分析】由题意得到lnx1﹣x1=m﹣mx2，设h（x）=lnx﹣x在（1，2）上的值域为A，函数g（x）=mx3﹣mx在（1，2）上的值域为B，根据函数的单调性求m的取值范围．【解答】解：由题意，得lnx1﹣x1=，设h（x）=lnx﹣x在（1，2）上的值域为A，函数g（x）=mx3﹣mx在（1，2）上的值域为B，当x∈（1，2）时，h′（x）=﹣1=＜0，函数h（x）在（1，2）上单调递减，故h（x）∈（ln2﹣2，﹣1），∴A=（ln2﹣2，﹣1）；又g'（x）=mx2﹣m=m（x+1）（x﹣1），m＞0时，g（x）在（1，2）上单调递增，此时g（x）的值域为B=（﹣，），由题意A?B，且m＞0＞﹣1，∴﹣≤ln2﹣2，解得m≥﹣（ln2﹣2）=3﹣ln2；∴正实数m的取值范围是[3﹣ln2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．2.设集合.若,则实数的取值范围是_____________。参考答案：略3.﹣=（）A．B．C．D．参考答案：D略4.如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，那么“”是“成立”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A若,设其中b,c∈[0,1),所以x-y=b-c,|x-y|<1,即”成立能推出“成立;反之,例如x=1.2,y=2.1,满足,但,推不出,故“”是“成立的充分不必要条件,故选A.

5.下列说法中，正确的是（

）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．“为真命题”是“为假命题”成立的充分不必要条件C．命题“存在”的否定是“对任意”D．已知，则“”是“”的充分不必要条件参考答案：B略6.如果,那么下列不等式成立的是

（）A． B． C． D．参考答案：D略7.已知命题，命题，则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.参考答案：C【分析】分别判断命题的的真假，再根据复合命题的真值表即可得到答案。【详解】对于命题，要使，则，故不存在，使，，则命题为假命题，即为真命题对于命题，由余弦函数的图像可知，故命题为真命题，为假命题；故为假命题，为假命题，为真命题，为假命题；故答案选C【点睛】本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题，的真假，属于基础题。8.“点P到两条坐标轴距离相等”是“点P的轨迹方程为y=|x|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．不充分不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设动点的坐标为（x，y），结合与两坐标轴距离即可求得轨迹方程．【解答】解：设动点P（x，y），则它到两坐标轴x，y距离的分别为|y|，|x|，∴到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是|x|=|y|，故y=|x|是|x|=|y|的必要不充分条件，故选：B．9.某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是(

)A．13 B．14 C．15 D．16参考答案：C【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中位数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，把这组数据按照从小到大的顺序排列为5，8，10，14，16，16，20，23；∴这组数据的中位数是=15．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题，是基础题目．10.圆：和圆：交于两点，则的垂直平分线的方程是（

）A.

B．

C．

D．参考答案：C

解析：由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则

，

.参考答案：4；12.一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF是一个直角三角形，∠AEF=90°，AE=a，EF=b，三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为

▲

．参考答案：略13.已知椭圆：+=1，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若AF2+BF2的最大值为5，则椭圆方程为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】|AF2|+|BF2|=4a﹣|AB|=8﹣|AB|，根据|AF2|+|BF2|的最大值为5，可得|AB|的最小值为3．由题意可设直线l的方程为：my=x+c，（直线l的斜率为0不必考虑），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立可得：（b2m2+4）y2﹣2mcb2y+b2c2﹣4b2=0，再利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：|AF2|+|BF2|=4a﹣|AB|=8﹣|AB|，∵|AF2|+|BF2|的最大值为5，∴|AB|的最小值为3．由题意可设直线l的方程为：my=x+c，（直线l的斜率为0不必考虑），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（b2m2+4）y2﹣2mcb2y+b2c2﹣4b2=0，c2=4﹣b2．∴y1+y2=，y1y2=．∴|AB|===，当m=0时，|AB|=b2；当m≠0时，|AB|=4+＞b2．∴b2=3．∴椭圆的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、弦长公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=6，xA是点A的横坐标，xB是B点的横坐标，又xA+xB=2，则p=

．参考答案：4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意知|AB|=xA+xB+p，即p=|AB|﹣（xA+xB），则p的答案可求．【解答】解：由题意知|AB|=xA+xB+p，即p=|AB|﹣（xA+xB）=6﹣2=4．故答案为：4．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，是基础题．15.函数的最大值为_________.参考答案：略16.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是

参考答案：60略17.已知函数，，则实数a的取值范围是__________．参考答案：【分析】判断出函数为奇函数，并且导数为正数，为递增函数，利用奇偶性和单调性化简题目所给的不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于，故函数为奇函数，由于故函数为上的增函数.由得，故.故的取值范围是.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查利用导数求函数的单调性，考查抽象不等式的解法.对于有关函数的题目，首先想到的是函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性等等.对于抽象函数的不等式，往往要结合函数的单调性来求解.利用导数可以判断出函数的单调性.属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题10分）设函数的定义域为集合,不等式的解集为集合．（1）求集合,;（2）求集合,．参考答案：(1)

(2)

略19.解不等式：（1）≥0（2）＞1．参考答案：【考点】其他不等式的解法．【分析】（1）将分式不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集；（2）将分式不等式右边化零、并因式分解后，进行等价转化，由穿根法求出不等式的解集．【解答】解：（1）由得，则，解得﹣3≤x＜，所以不等式的解集是；（2）由得，化简得，即，等价于（x﹣2）（x﹣8）（x﹣3）（x﹣7）＜0，如图所示：由图可得，不等式的解集是（2，3）∪（7，8）．20.某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为的三段式污水处理池，池高为1，如果池的四周墙壁的建造费单价为元，池中的每道隔墙厚度不计，面积只计一面，隔墙的建造费单价为元，池底的建造费单价为元，则水池的长、宽分别为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？参考答案：解：设污水池的宽为，则长为，水池的造价为元，则由题意知：定义域为，当且仅当，取“=”，此时长为18m，答：污水池的长宽分别为18m,时造价最低，为44800元．

略21.已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣3，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．参考答案：【考点】轨迹方程；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，建立方程，进而求得动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意，直线PQ的方程代入化简，利用角平分线的性质可得kPB=﹣kQB，可化为：﹣16tm+（3+m）8t=0，所以：m=3，l：x=ty+3，即可得到定点．【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心P（x，y），则|PM|2=|PA|2=42+x2即：（x﹣4）2+y2=42+x2，即动圆圆心的轨迹方程为：y2=8x，（Ⅱ）设两点P（x1，y1），Q（x2，y2）设不垂直于x轴的直线：l：x=ty+m（t≠0），则有：y2﹣8ty﹣8m=0，所以：y1+y2=8t，y1y2=﹣8m，因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以：kBP+kBQ=0即：即：2ty1y2+（m+3）（y1+y2）=0，则：﹣16tm+（3+m）8t=0，所以：m=3l：x=ty+3所以直线l过定点（3，0）．22.如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1)连结交于，连结,因为四边形为正方形，所以为的中点，又点为的中点，在中，有中位线定理有//，而平面，平面，所以，//平面.