圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)

`圆锥曲线间的三个统一巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮指导老师：薛红梅感谢阅读世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其在的和谐与统一，通过对圆锥曲线谢谢阅读图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。一、四种圆锥曲线的统一定义动点P到定点F的距离到定直线L的距离之比等于常数e，则当0e1时，精品文档放心下载动点P的轨迹是椭圆：当e1时，动点P的轨迹是抛物线；当e1时，动点P精品文档放心下载的轨迹是双曲线；若e0，我们规定直线L在无穷远处且P与F的距离为定值谢谢阅读（非零），则此时动点P的轨迹是圆，同时我们称e为圆锥曲线的离心率，F为谢谢阅读焦点，L为准线。二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们感谢阅读的半通径为p，则pba2。如图1，将椭圆x2y21(ab0)按向量（a,0）平移a2b2精品文档放心下载得到(xa)2y21∴y22b2b2x2a2axb2a2b2，b2∵椭圆的半通径|FM|pa1e211a2∴椭圆的方程可写成y22px(e21)x2(0e1)类似的，如图2，将双曲线x2y2a1(a0,b0)按向量(a,0)平移得到2b2(xa)2y2∴y2b2xb2x2a212aa2b2Word文档`∵双曲线的半通径|FM|b2，b2ae2122a2∴双曲线方程可写成y22px(e21)x2(e1)对于抛物线y22px(x0)P为半通径，离心率e1，它也可写成y22px(e21)x2(e1)谢谢阅读对于圆心在（P，0），半径为P的圆，其方程为(xp)2y2p2，它也可谢谢阅读写成y22px(e21)x2 (e0)谢谢阅读于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y22px(e21)x2，其感谢阅读P是曲线的半通径长，当e0，0e1，e1,e1时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。感谢阅读三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式精品文档放心下载在同一坐标系下，作出方程y22px(e21)x2所表示的四种圆锥曲线，如图3，设P、B、A、C分别是圆的圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为y22px(e21)x2的焦点F感谢阅读c2a2a(e21)P(e1)则有OCcaace1e1ppa2c2a(1e2)p(0e1)OA(e1)，OBace12e1ace1OPpp(e0)e1即方程y22px(e21)x2所表示的四种圆锥曲线的一个焦点为F(p,0)，设焦点F相应的准线为xm，则有OFe。e1m∴准线L为xmp，对于圆e0表示准线L在无限远处，设点e(e1)Word文档`M(x,y)为曲线y22px(e21)x2上在y轴右侧的动点，则点M对焦点F的00焦半径|mF|e(xm)exp。00e1圆锥曲线的在统一，使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地联系感谢阅读起来，从而更好地理解圆锥曲线的含义，更好地运用圆锥曲线解决实际问题。精品文档放心下载Word文档`圆锥曲线中的数学思想方法巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮指导老师：薛红梅精品文档放心下载在解决圆锥曲线的有关问题时，数学思想方法尤为重要，通过对我们平时感谢阅读所遇到的例题及习题的归纳、总结，可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的感谢阅读数学思想方法，帮助我们解决问题。思想方法一：分类讨论思想例1.给定抛物线y22x设A(a,0)(aR)，P是抛物线上的一点，且精品文档放心下载|PA|d，试求d的最小值。解：设P(x,y)(x0)，则y22x感谢阅读0 0 0 0∴d|PA| (xa)2y2 (xa)22x [x(1a)2]2a1感谢阅读0 0 0 0 0aR，x00∴（1）当0a1时，1a0，此时有x0感谢阅读0(1a)22a1amin（2）当a1时，此时有xa10dmin 2a1评注：引起分类讨论的情况有：参数的取值围、去绝对值符号、大小关系谢谢阅读不等式等，在讨论中要思维全面，谨慎，做到不懂不漏。思想方法二：转化思想2已知过点A（―2，―4）且斜率为1的直线L交抛物线y22px(p0)感谢阅读B、C两点，若|AB|、|BC|、|CA|成等比数列，求抛物线方程。精品文档放心下载解：直线L的方程为yx2设B（x,y），C(x,y)谢谢阅读1 1 2 2yx2由得x22(2p)x40y22px∴xx2(2p)xx41212∵|AB|、|BC|、|CA|成等比数列Word文档`|BC||CA||AB||BC|精品文档放心下载过A作直线l∥x轴，设B、C在l上的射影分别是B，C谢谢阅读则|BC||BC|xx|CA||CA|x221|BC|2x121∴xxx2即(xx)2(x2)(x2)212xx2x2112221∴(xx)24xxxx2(xx)412121212得4(2p)21644(2p)4化简为p23p40解得p1满足1或p4（舍去）精品文档放心下载故所求的抛物线方程为y22x评注：如何将“|AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为A、B、C三点坐标间的关系是解题的关键，本题巧妙运用了“投影”方法将这一条件转化为在水平线上的三线段之间的比例关系，从而达到转化的目的。感谢阅读思想方法三：化归思想例3直线L：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、谢谢阅读B。（1）数k的取值围。（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。精品文档放心下载解：（1）将直线L的方程ykx1代入双曲线C的方程2x2y21，得谢谢阅读(k22)x22kx20 ①感谢阅读依题意直线L与双曲线C的右支交于不同两点k220∴(2k)28(k22)02k22k20,0k22k22Word文档`2）设A、B两点的坐标分别为(x,y)(x,y)谢谢阅读1122则由①可得xx2k，xx2②122k212k22假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）则由FA⊥FB得(xc)(xc)yy01212整理得：(k21)xx(kc)(xx)c210③1212把②式及c6代入③式化简得：5k226k602∴k66或k66(2,2)（舍去）55k66使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F。感谢阅读5评注：解决数学问题的过程，实质就是在不断转化与化归的过程。应在解题时注意思维调控，恰当转化解题途径，使解题更加便捷。感谢阅读思想方法四：数形结合思想例4 函数y x43x26x13 x4x21的最大值是________。精品文档放心下载分析：原式= (x3)2(x22)2 x2(x21)2，其几何模型是定曲线谢谢阅读x2上的动点p(x,y)到两定点A（3，2），B（0，1）的距离之差，要求其最大值。精品文档放心下载y|AP||PB||AB| (30)2(21)2 10 ∴ymax 10精品文档放心下载评注：利用问题模型的几何意义，借助图形性质来解决问题，可使抽象问题具体化，复杂问题简单化。感谢阅读思想方法五：函数与方程思想例5斜率为2的直线与等轴双曲线x2y212相交于两点P,P，求线段谢谢阅读1 2PP中点的轨迹方程。1 2Word文档`解：设直线方程为y2xm代入双曲线方程得3x24mxm2120感谢阅读∵直线与双曲线相交于P,P2(4m)243(m212)0感谢阅读m6或m6设P,P的坐标为(x,y)(x,y)，线段PP中点为(x,y)12112212xx23则x1223m且x4或x4∴m2x代入直线方程得：所求轨迹方程为y12x（x4或x4）谢谢阅读思想方法六：构造思想x2 y2例6已知x,y满足 1，求y3x的取值围。感谢阅读解：令y3x=b，则y3xb感谢阅读原问题转化为：在椭圆x2y21相切时，有最大截距与最小截距1625精品文档放心下载y3xby2消去y得169x296bx16x24000由x2116250得b13∴y3x的取值围为[－13，13]评注：应用构造思想解题的关键有①要有明确方向，即为何构造②要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合。感谢阅读思想方法七：对称思想例7在直线L：xy90上任取一点M过M且以椭圆x2y21的焦点123精品文档放心下载为焦点作椭圆。问M在何处时，所作的椭圆长轴最短，并求出其方程。感谢阅读解：∵x2y21的两焦点F(3,0),F(3,0)，F是F关于L的对称点1231211Word文档`又FF的直线方程为xy30与xy90联立，求得F(9,6)，这时谢谢阅读111FF的方程为x2y3012x2y30得M(5,4)这时2a|FF|650xy912x2 y2∴椭圆方程为 1评注：用对称思想解题，不仅可以利用对称的性质，沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决。精品文档放心下载思想方法八：参数思想例8在椭圆x24y24x上，求使zx2y2取得最大值和最小值的点P谢谢阅读的坐标。解：将已知方程转化为(x2)2y21感谢阅读4 1设椭圆上动点P为(22cos,sin)精品文档放心下载zx2y2=(22cos)2sin25cos28cos3