第一讲-凸函数和琴生不等式带解答_第1页
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./第一讲：凸函数与琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数的定义域为<a,b>,如果对于<a,b>内任意两数x1,x2,都有①则称为<a,b>上的下凸函数．注：=1\*GB3①若把①式的不等号反向,则称这样的为区间<a,b>上的上凸函数．〔或凹函数=2\*GB3②下凸函数的几何意义：过曲线上的任意两点作弦,则弦的中点必在该曲线的上方〔或曲线上．=3\*GB3③的二阶导数,则为下凸函数；的二阶导数,则为上凸函数。常见的上凸〔凹函数,常见的〔下凸函数,二、琴生不等式性质：若在区间为下凸函数,则对,总有；当且仅当时取到等号。若在区间为上凸函数,则对,总有。当且仅当时取到等号。三、加权形式：附：应用,此时是下凸函数,可得倒数平方和的不等式,等号成立条件。而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式,是利用调和平均和平方平均的关系,得到的,等号成立条件。常用不等式：证明：<1>在上是上凸函数<2>在上是上凸函数<3>上是下凸函数证明：<1>对<2>对即：．<3>当时〔∵即：．设是锐角的三个内角,求证：,且a+b+c=3,求证：．证明：设,则上的凹函数．由琴生：∴．设是的三个内角,是非负常数,求的最大值。用琴生不等式证明均值不等式,即：．证：∵设,则为上的上凸函数由琴生不等式：即已知,求证：证：已知：求证：.设均大于0,证明：,其中,且.〔2011,XX〔Ⅰ已知函数求函数的最大值；〔Ⅱ设均为正数,证明：〔i若,则〔ii若,则。解：〔Ⅰmax=f<1>=0〔Ⅱ证明〔i令g<x>=lnx<x>0>,则g"<x>=g<x>在〔0,+上是凹函数,对于ak<0,+>,<k=1,2,…,n>,由琴生不等式：<ii>由<i>知,g<x>=lnx在上是凹函数,由琴生不等式：10对于bk<0,1>,且〔*<2012,XX22题>〔Ⅰ已知函数,其中为有理数,且.求的最小值；〔Ⅱ试用〔Ⅰ的结果证明如下命题：设,为正有理数.若,则；〔Ⅲ请将〔Ⅱ中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时,有求导公式.解析：〔II证明：令g<x>=lnx<x>0>,则g<x>在上为凹函数〔1题已证10当,中至少有一个为0时,则成立；20若,>0时,由琴生不等式：ln综上,原不等式成立。〔III命题形式：设则证明：10当,……an中至少有一个为0时,原不等式显然成立。20当ak>0时,由琴生不等式：综上,原不等式成立。

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