2022-2023学年湖南省娄底市长沙铁路总公司铁路中学高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年湖南省娄底市长沙铁路总公司铁路中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于x的方程，给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；

其中假命题的个数是

（）

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：A2.已知函数，给出下列四个命题，其中正确的命题为

（

）①若②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称；⑤当时，的值域为

A．①②④

B．③④⑤

C．②③

D．③④参考答案：D3.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝（

）A．－e

B．－1

C．1

D．e参考答案：B略4.设函数，则y=﹣f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】根据函数定义域，单调性进行判断．【解答】解：y=﹣f（x）=﹣+1，∴函数的定义域为[0，+∞），且在定义域上单调递减，故选B．5.若集合是函数的定义域，是函数的定义域，则等于(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：A6.已知数列的前n项和,则此数列奇数项的前n项和为(A.

B.

C.

D.(参考答案：C7.集合则下列结论正确的是（）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．8+π B．8+π C．8+π D．8+3π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是两个半径为1的半球，一个棱长为2的正方体以及两个半圆柱组成，即可求出几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是两个半径为1的半球，一个棱长为2的正方体以及两个半圆柱组成，体积为+π×12×2=8+π．故选：C．9.对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据(，)(i=1，2，…，8)，其回归直线方程是：，且，则实数a的值是A．

B．

C．

D．

参考答案：B10.已知，且，则A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】同角三角函数基本关系；和差角公式

C2

C5

C6【答案解析】A

解析：，，

，

根据同角三角函数的基本关系式可得：

故选：A【思路点拨】利用和角的正切公式，化简可求的值，几何已知角是范围和同角三角函数基本关系式可求出，化简所求式子，代入计算即可。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（4分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3．参考答案：4【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：立体几何．【分析】：由题意可知，一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，根据所给的长度，求出几何体的体积．解：由三视图可知，这是一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1×1×2下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是1×1×2∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m3，故答案为：4【点评】：本题考查由三视图还原直观图，根据图形中所给的数据，求出要求的体积，本题是一个考查简单几何体体积的简单题目．12.在中，已知=1，则面积的最大值是

。参考答案：13.三角形，则

参考答案：6略14.=___.___.参考答案：.15.若则__________.参考答案：

16.有下列命题：①函数y＝cos(x－)cos(x＋)的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数的图象关于点(－1,1)对称；③关于x的方程ax2－2ax－1＝0有且仅有一个实数根，则实数a＝－1；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则非p：存在x∈R，使得sinx>1．其中所有真命题的序号是________．参考答案：③；④①函数y＝cos(x－)cos(x＋)＝cos2x，相邻两个对称中心的距离为d＝＝，故①不正确；②函数y＝的图象对称中心应为(1,1)，故②不正确；③正确；④正确．17.当时，4x＜logax，则a的取值范围．参考答案：【考点】指、对数不等式的解法．【分析】若当时，不等式4x＜logax恒成立，则在时，y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方，在同一坐标系中，分析画出指数和对数函数的图象，分析可得答案．【解答】解：当时，函数y=4x的图象如下图所示若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（，2）点时，a=故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1故答案为：（，1）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C的左、右焦点分别为（﹣）、（），且经过点（）．（I）求椭圆C的方程：（II）直线y=kx（k∈R，k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D点为椭圆C上的动点，且|AD|=|BD|，请问△ABD的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线AB的方程：若不存在，说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），则c=，b2=a2﹣c2=3，将点（）代入椭圆方程：，即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程：（II）D在AB的垂直平分线上，OD：，将直线方程代入椭圆方程求得（1+4k2）x2=4，则|AB|=2|OA|=4，|OC|=2，可知S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=，根据基本不等式的性质可知：，因此S△ABC=2S△OAC≥，即可求得直线AB的方程．【解答】解：（I）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），则c=，b2=a2﹣c2=3，将点（）代入椭圆方程：，即，解得：a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程：…（II）D在AB的垂直平分线上，∴OD：．…由，可得（1+4k2）x2=4，|AB|=2|OA|=2=4，…同理可得|OC|=2，…则S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=．…由于，…∴S△ABC=2S△OAC≥，当且仅当1+4k2=k2+4（k＞0），即k=1时取等号．∴△ABD的面积取最小值，直线AB的方程为y=x．…19.四边形ABCD中,,，，

（1）若,试求与满足的关系式

（2）在满足（1）的同时，若,求与的值以及四边形ABCD的面积参考答案：解析：（1）由已知可得，，若，可知即（2）由已知可得，由可得（3）由（1）（2）可得

①

②由①②联立可得易求得>0所以两条曲线相交。另解：的圆心（-2,1）到直线的距离，所以两条曲线相交原编题（2）在满足（1）的同时，若,求与的值以及四边形ABCD的面积由（1）可知所以或当时，，由可得=16当时，，由可得=16综上可知=20.如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线G；x=a2上的射影依次为点D、K、E，若抛物线x2=4y的焦点为椭圆C的顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L交y轴于点M，=λ1，=λ2，当M变化时，求λ1+λ2的值．参考答案：解：(1)易知,,,..(2),设,则由可得:，故..又由得..同理..本试题主要考查同学们能利用圆锥曲线的性质求解椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系联立方程组，结合韦达定理，表示向量的坐标，进而消去参数求解定值数学思想。21.如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求证：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用等边三角形的性质可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE⊥平面ABC，进而得出结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，利用转换底面的方法，即可求三棱锥的体积；（Ⅲ）存在，G为劣弧的中点．连接OG，OF，FG，通过证明平面OFG∥平面ACD，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：在△AOD中，∵，OA=OD，∴△AOD为正三角形，又∵E为OA的中点，∴DE⊥AO…∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，∴DE⊥平面ABC．

…又CB?平面ABC，∴CB⊥DE．

…5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，∴DE为三棱锥D﹣BOC的高．∵D为圆周上一点，且AB为直径，∴，在△ABD中，由AD⊥BD，，AB=2，得AD=1，．

…∵，∴==．

…（Ⅲ）解：存在满足题意的点G，G为劣弧的中点．

…证明如下：连接OG，OF，FG，易知OG⊥BD，又AD⊥BD∴OG∥AD，∵OG?平面ACD，∴OG∥平面ACD．

…在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，∴OF∥AC，OF?平面ACD，∴OF∥平面ACD，…∵OG∩OF=O，∴平面OFG∥平面ACD．又FG?平面OFG，∴FG∥平面ACD．

…【点评】本题考查线线、线面、面面关系，考查线线垂直的判定、面面垂直的性质、线面平行的判定及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及分析探究问题和解决问题的能力．22.（本题满分14分）如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，.（I）求证：平面；（II）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.

参考答案：（I）证明：在梯形中，∵,，∠＝，∴

…2分∴∴∴⊥

…4分∵

平面⊥平面,平面∩平面,平面∴

⊥平面

…6分（II）解法一：由（I）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，则，∴

…………8分设为平面MAB的一个法向量，由得

取，则，…………10分

∵是平面FCB的一个法向量

∴

………12分

∵

∴当时，有最小值，

当时，有最大值。

∴

…14分

解法二：①当与重合时，取中点为，连结

∵

,∴

∴⊥

∵

∴⊥

∴

∠=∵

⊥

∴

∴,

∴…8分…②当与重合时，过,连结，则平面∩平面＝,∵

⊥，又∵⊥∴

⊥平面∴

⊥平面∴∠＝∴=,∴=

…10分③当与都不重合时，令延长交的延长线于,连结

∴在平面与平面的交线上

∵

在平面与平面的