2022-2023学年湖南省湘潭市韶山大坪乡中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年湖南省湘潭市韶山大坪乡中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

当下列不等式中正确的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:A2.已知a，b∈R，则“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若0≤a≤1且0≤b≤1”则“0≤ab≤1”成立．若“0≤ab≤1”，例如a=﹣1，b=﹣1，则不成立，∴“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据定义进行判断即可，比较基础．3.如果等差数列中，，，那么（

）A．21

B．28

C．8

D．14

参考答案：C略4.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为(

)A．.

B． C．

D．参考答案：B略5.设向量，，则“”是“∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：由题意得，∥，则，解得，所以“”是“∥”的充分不必要条件，故选A.考点：向量的运算.6.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（

）A.4 B.6 C.8 D.12参考答案：试题分析：先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B考点：抛物线的定义．7.下列命题中（

）①三点确定一个平面；②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直；③同时垂直于一条直线的两条直线平行；④底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为12.正确的个数为（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：B8.已知数列是各项均为正数的等比数列=（

）

A．2

B．33

C．84

D．189

参考答案：C略9.设a，b∈R且ab≠0，则a＞b是的（

）（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件（C）既不充分也不必要条件 （D）充要条件参考答案：C10.设i为虚数单位，m∈R，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【专题】简易逻辑；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可．【解答】解：复数m（m﹣1）+i是纯虚数，则m=0或m=1，显然m=1，复数是纯虚数，所以，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，基本知识的考查．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，在圆的直径AB的延长线上任取一点C，过点C作圆的切线CD，切点为D，∠ACD的平分线交AD于点E，则∠CED．参考答案：45°【考点】：弦切角．【专题】：立体几何．【分析】：首先根据圆的切线，连接半径后得到直角三角形，进一步利用三角形的外角等于不相邻的内角的和，及角平分线知识求出结果．【解答】：解：连接OD，由于CD是⊙O的切线，所以：∠DOC+∠DCO=90°，∠DOC是△AOD的外角，所以：∠DOC=2∠A；又CE是∠DCA的角平分线，所以：∠DCE=∠ACE=∠DCA，∠CED=∠A+∠ECA=（∠DOC+∠DCO）=45°，故答案为：45°．【点评】：本题考查的知识要点：三角形的外角的应用，切线的应用，属于基础题型．12.已知____________。参考答案：略13.若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B14.已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：（2，3]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数g（x）和f（x）的关系，将y=f（x）﹣g（x）=0转化为f（x）=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意当y=f（x）﹣g（x）=2[f（x）﹣1]=0时，即方程f（x）=1有4个解．又由函数y=a﹣|x+1|与函数y=（x﹣a）2的大致形状可知，直线y=1与函数f（x）=的左右两支曲线都有两个交点，当x≤1时，函数f（x）的最大值为a，则a＞1，同时在[﹣1，1]上f（x）=a﹣|x+1|的最小值为f（1）=a﹣2，当a＞1时，在（1，a]上f（1）=（1﹣a）2，要使y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则满足，即，解得2＜a≤3．故答案为：（2，3]【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为f（x）=1，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可．15.若f(x)=ax2+bx+3a+b是定义在［a-1,2a］上的偶函数，则a=

，b=

.参考答案：,016.设，已知函数是定义域为R的偶函数，当时，

若关于x的方程有且只有7个不同实数根，则的取值范围是

．参考答案：试题分析：函数的图象如下图所示，由图可知，若关于的方程有且只有个不同实数根，则关于的的一元二次方程的两根，其中一根为1，另一根在开区间内，所以，有所以，所以答案应填：．

17.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜ex的解集为．参考答案：（0，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数令g（x）=，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．【解答】解：由题意令g（x）=，则=，∵f（x）＞f′（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上是单调递减函数，∵y=f（x）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，g（0）=1，则不等式f（x）＜ex等价为＜1=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.参考答案：(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，，故点到直线的距离的最大值为.(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，，恒成立，即（其中）恒成立，，又，解得，故取值范围为.19.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果当且时，恒成立，求实数的范围.参考答案：（1）定义域为

设①当时，对称轴，，所以在上是增函数

-----------------------------2分②当时，，所以在上是增函数

----------------------------------------4分③当时，令得令解得；令解得所以的单调递增区间和；的单调递减区间------------------------------------6分（2）可化为（※）设，由（1）知：①当时，在上是增函数若时，；所以若时，。所以所以，当时，※式成立--------------------------------------10分②当时，在是减函数，所以※式不成立综上，实数的取值范围是．----------------------------12分

解法二：可化为设令,所以在由洛必达法则所以20.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且2asinB=b.ks5u（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ)若a=6，b+c=8，求△ABC的面积.ks5u参考答案：21.在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a=1，．（Ⅰ）当，求角C的大小；（Ⅱ）求△ABC面积最大值．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinB==，结合范围B∈（0，），可求B的值，进而可求C的值．（Ⅱ）由已知及余弦定理，基本不等式可求1≥bc，进而利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵a=1，A=，b=，∴由正弦定理可得：sinB===，又∵B∈（0，），∴B=，或．∴C=π﹣A﹣B=，或．（Ⅱ）∵a=1，A=．∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=（2﹣）bc，所以bc≤（当且仅当b=c=1时等号成立）∴SABC=bcsinA≤××=，（当且仅当b=c=1时等号成立），即△ABC面积最大值．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22.如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD．（Ⅰ）求证：l是⊙O的切线；（Ⅱ）若⊙O的半径OA=5，AC=4，求CD的长．参考答案：【考点】圆的切线的判定定理的证明；与圆有关的比例线段．【专题】选作题；立体几何．分析；（Ⅰ）连接OP，由AC与BD都与直线l垂直，得到AC与BD平行，由AB与l不相交得到四边形ABDC为梯形，又O为AB中点，P为CD中点，所以OP为梯形的中位线，根据梯形中位线性质得到OP与BD平行，从而得到OP与l垂直，而P在圆上，故l为圆的切线；（Ⅱ）过点A作AE⊥BD，垂足为E，求出BE，利用勾股定