安徽省铜陵市第五中学高三数学理期末试题含解析

安徽省铜陵市第五中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合则

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C2.“是真命题”是“为假命题”的(

)A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3.函数的反函数是A． B．C．

D．参考答案：A略4.已知集合,则等于

（）A． B． C． D．参考答案：B5.P是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，且，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.复数(是虚数单位)表示复平面内的点位于(▲)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

参考答案：A略7.已知函数f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4] B．[0，+2] C．[+2，e3﹣4] D．[e3﹣4，+∞）参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）=x3﹣31nx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a=﹣3lnx?a+1=x3﹣31nx，即方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，设函数g（x）=x3﹣31nx，其导数g′（x）=3x2﹣=，又由x∈[，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）=x3﹣31nx有最小值g（1）=1，又由g（）=+3，g（e）=e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）=x3﹣31nx有最大值g（e）=e3﹣3，故函数g（x）=x3﹣31nx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．8.下列命题中正确的是（

）A.若为真命题，则为真命题.B.“”是“”的充要条件.C.命题“，则或”的逆否命题为“若或，则”.D.命题p：，使得，则：，使得.

参考答案：B对于A选项，当真时，可能一真一假，故可能是假命题，故A选项为假命题.对于B选项，根据基本不等式和充要条件的知识可知，B选项为真命题.对于C选项，原命题的逆否命题为“若且，则”，故C选项为假命题.对于D选项，原命题为特称命题，其否定是全称命题，要注意否定结论，即：，使得.综上所述，本小题选B.

9.已知点A（2，0），B（3，2），向量，若，则为（）A． B． C． D．4参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积求出λ的值，再求其模即可．【解答】解：，，故选A．10.已知函数有两个零点，则有（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列中，其前项和，若，则的值为_____________.参考答案：3略12.设向量=（﹣1，﹣3），=（2sinθ，2），若A、B、C三点共线，则cos2θ=．参考答案：【考点】二倍角的正弦；平行向量与共线向量．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，列出方程，求解即可．【解答】解：向量=（﹣1，﹣3），=（2sinθ，2），若A、B、C三点共线，∴﹣6sinθ=﹣2，∴sin，cos2θ=1﹣2sin2θ=．故答案为：．【点评】本题考查为二倍角公式的应用，向量共线的充要条件，考查计算能力．13.设定义在上的奇函数满足,若,则

.参考答案：14.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则它的解析式为_

_。参考答案：略15.设函数f（x）=，若函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3=．参考答案：3﹣a4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设f（x）=t，根据f（x）的函数图象得出方程f（x）=t的根的个数，从而得出f（x）=1，故而可求出f（x）=1的三个解，得出答案．【解答】解：不妨设a＞1（或0＜a＜1），作出f（x）的函数图象如图所示：设f（x）=t，由图象可知：当t=1时，方程f（x）=t有3解，当t≠1时，方程f（x）=t有2解，∵函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点，∴关于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f（x）=1，∴x1，x2，x3是f（x）=1的三个解，不妨设x1＜x2＜x3，则x2=1，令loga|x﹣1|﹣1=1得x=1±a2，∴x1=1﹣a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1﹣a2+1﹣a4=3﹣a4．故答案为：3﹣a4．16.若命题“?x∈R，|x﹣2|＞kx+1”为真，则k的取值范围是．参考答案：[﹣1，﹣）【考点】全称命题．【专题】综合题；简易逻辑．【分析】作出y=|x﹣2|，y=kx+1的图象，结合图象可知k的取值范围．【解答】解：作出y=|x﹣2|，y=kx+1的图象，如图所示，直线y=kx+1恒过定点（0，1），结合图象可知k∈[﹣1，﹣）．故答案为：[﹣1，﹣）．【点评】本题考查全称命题，考查数形结合的数学思想，比较基础．17.设为正整数，，计算得，观察上述结果，可推测一般结论为：

；参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）设分别是椭圆的左、右焦点，过倾斜角为的直线与该椭圆相交于，两点，且.（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设点满足，求该椭圆的方程.参考答案：19.在如图的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（1）求证：AC⊥平面FBC；（2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．参考答案：考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）证明1：由余弦定理得，所以AC⊥BC，由此能够证明AC⊥平面FBC．证明2：设∠BAC=α，∠ACB=120°﹣α．由正弦定理能推出AC⊥BC，由此能证明AC⊥平面FBC．（2）解法1：由（1）结合已知条件推导出AC⊥FC．由平面CDEF为正方形，得到CD⊥FC，由此入手能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．解法2：由题设条件推导出CA，CB，CF两两互相垂直，建立空间直角坐标系利用向量法能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．解答：（1）证明1：因为AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=（2BC）2+BC2﹣2×2BC?BC?cos60°，即．…（2分）所以AC2+BC2=AB2．所以AC⊥BC．…（3分）因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）证明2：因为∠ABC=60°，设∠BAC=α（0°＜α＜120°），则∠ACB=120°﹣α．在△ABC中，由正弦定理，得．…（1分）因为AB=2BC，所以sin（120°﹣α）=2sinα．整理得，所以α=30°．…（2分）所以AC⊥BC．…（3分）因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）（2）解法1：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC．因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）取AB的中点M，连结MD，ME，因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，所以MD=MA=AD．所以△MAD是等边三角形，且ME∥BF．…（7分）取AD的中点N，连结MN，NE，则MN⊥AD．…（8分）因为MN?平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥MN．因为AD∩ED=D，所以MN⊥平面ADE．…（9分）所以∠MEN为直线BF与平面ADE所成角．…（10分）因为NE?平面ADE，所以MN⊥NE．…（11分）因为，，…（12分）在Rt△MNE中，．…（13分）所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为．…（14分）解法2：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC．因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）所以CA，CB，CF两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系C﹣xyz．…（7分）因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠ABC=60°所以CB=CD=CF．不妨设BC=1，则B（0，1，0），F（0，0，1），，，，所以，，．…（9分）设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则有即取x=1，得=是平面ADE的一个法向量．…（11分）设直线BF与平面ADE所成的角为θ，则．…（13分）所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为．…（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要注意向量法的合理运用，注意空间思维能力的培养．20.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点．

（1）求证：；（2）求点到平面的距离．参考答案：解：（1）因为N是PB的中点，PA=AB，

所以AN⊥PB,因为AD⊥面PAB，所以AD⊥PB,又因为AD∩AN=A

从而PB⊥平面ADMN,因为平面ADMN，

所以PB⊥DM.(2)连接AC，过B作BH⊥AC，因为⊥底面，

所以平面PAB⊥底面，所以BH是点B到平面PAC的距离.在直角三角形ABC中，BH＝

略21.2010年世博会在上海召开，某商场预计2010年从1月起前x个月顾客对某种世博商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：≤12且(Ⅰ）写出第x月的需求量的表达式；(Ⅱ）若第x月的销售量（单位：件），每件利润元与月份x的近似关系为：，求该商场销售该商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？参考答案：（1）当时，；

当时，

；

∴

(2），

；∵当时，，∴在上单调递增，∴当且时，；∵当时，，当时，，∴当且时，；综上，预计第6个月的月利润达到最大，最大月利润为3000元22.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上.（I）当M是线段PD的中点时，求证：PB//平面ACM；（II）是否存在点M，使二面角的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（I）证明：连接BD交AC于H点，连接MH，因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点.

又因为M为PD的中点，所以MH//BP.又