2022-2023学年湖南省衡阳市 市南岳区第一中学高二数学理联考试卷含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市市南岳区第一中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＜b成立的必要而不充分的条件是（） A．|a|＜|b| B． 2a＜2b C． a＜b﹣1 D． a＜b+1参考答案：D略2.已知集合,则的子集的个数（

）A.2

B.4

C.5

D.7参考答案：B略3.已知命题，命题.则下列命题为真命题的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.为等差数列，，且它的前n项和Sn有最小值，当Sn取得最小正值时，n=（

）A．11

B．17

C．19

D．20w参考答案：D5.双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为y=x，由于一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则有=2，即有b=2a，c==a，则离心率为e==．故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．6.在一次实验中，测得的四组值分别是，则与之间的回归直线方程为（

）A． B． C． D．参考答案：C略7.如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，+∞）参考答案：A【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的定义求解．【解答】解：∵x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，把x2+ky2=2转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得0＜k＜1．∴实数k的取值范围是（0，1）．故选：A．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．8.已知a，b∈R+，则“x+y>a+b且xy>ab”是“x>a且y>b”的（

）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）不充分也不必要条件参考答案：B9.已知是离心率为为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C10.设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝2x＋3y的最小值为 ()．A．6

B．7

C．8

D．23参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在如下程序框图中，已知：，则输出的是

.参考答案：略12.已知两个点和，若直线上存在点P,使则称该直线为“A型直线”，则下列直线①②③④中为“A型直线”的是____________（填上所有正确结论的序号）参考答案：③④13.不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为

．参考答案：[﹣8，4]略14.把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为

参考答案：

略15.如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则____________.参考答案：1：2416.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线的极坐标方程为，曲线与相交于两点、，则弦长等于

.参考答案：略17.设双曲线的离心率，则两条渐近线夹角的取值范围是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的nN+，都有。（1）写出数列{an}的前3项；（2）求数列{an}的通项公式(写出推证过程)；（3）设，是数列{bn}的前n项和，求使得对所有nN+都成立的最小正整数的值。参考答案：解:(1)

(2)∵

∴两式相减得:

即也即∵

∴

即是首项为2,公差为4的等差数列∴

(3)∴

∵对所有都成立

∴

即故m的最小值是10

19.已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．参考答案：【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根，再利用一元二次方程根与系数的关系解出a，b．（2）先把一元二次不等式变形到（x﹣2）（x﹣c）＜0，分当c＞2时、当c＜2时、当c=2时，三种情况求出此不等式的解集．【解答】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且b＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．（2）由于a=1且b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为?．综上所述：当c＞2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；当c=2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为?．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．20.某课题小组共10人，已知该小组外出参加交流活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人外出参加交流活动次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；（2）设X为选出2人参加交流活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）分别计算次数之和为两种情况的选法，根据古典概型计算得到结果；（2）首先确定所有可能的取值为，分别结算每个取值所对应的概率，从而可得分布列；根据数学期望的公式计算可得期望.【详解】（1）参加义工活动次数之和为，则人分别参加活动次数为“和”或“和”次数为“和”共有：种选法；次数为“和”共有：种选法则所以事件的发生的概率为（2）随机变量的所有可能的取值为；；所以随机变量的分布列为：

数学期望【点睛】本题考查古典概型、分布列与数学期望的相关知识，涉及到简单的排列组合的应用，属于常规题型.21.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，DBAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD=2，PA^底面ABCD．(1)若AE^PD于点E，求证：PD^平面ABE；(2)在(1)的条件下，若PD与底面ABCD成45°角．求平面ABE与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．参考答案：解：(1)∵BA^AD，BA^PA，∴BA^平面PAD．……2分∴BA^PD．又PD^AE，∴PD^平面ABE．

……4分(2)∵PD与底面成的角为DPDA＝45°，∴PA＝2．如图建立坐标系，则B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0),∴＝(0,1,0)，＝(1,0,－2)．

……6分设平面PBC的一个法向量为＝(x,y,z)，则^，^，∴×＝0，×＝0.得，令z＝1，∴＝(2,0,1)．

……8分由(1)知，PD^平面ABE，∴＝(0,2,－2)是平面ABE的一个法向量．设平面PAE与平面PBC所成的角为，则cosq＝＝＝－．

……11分∴平面ABE与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为．

……12分

22.设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题． 【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不