安徽省淮南市城北中学高二数学理期末试题含解析

安徽省淮南市城北中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于（

）A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：A略2.如图，面，中，则是

（

）A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．以上都有可能参考答案：A3.在平行六面体中，，，则对角线的长度为A．

B．4

C．

D．参考答案：D略4.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全部总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为（） A．0.9，35 B．0.9，40 C．0.1，35 D．0.1，45参考答案：B【考点】频率分布直方图． 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】读图分析可得成绩小于17秒的学生人数占的频率，由频数与频率的关系可得其占的比例；同时读图可得成绩大于等于15秒的学生的频率，进而可得其频数． 【解答】解：成绩小于17秒的学生人数占的频率=0.34+0.36+0.18+0.02=0.9， 则成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为90%； 成绩大于等于15秒的学生的频率为0.34+0.36+0.06+0.04=0.8，则人数等于50×0.8=40人．故选：B． 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力． 5.已知集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x＜3}，则N∩（?RM）=（）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜2}参考答案：C【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先求解一元二次不等式化简集合M，求出?RM，则（?RM）交N的答案可求．【解答】解：M={x|x2＞4}={x|x＜﹣2，或x＞2}，∴?RM={x|﹣2≤x≤2}，∵N={x|1＜x＜3}，∴（?RM）∩N={x|1＜x≤2}，故选：C6.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（

）A、

B、C、

D、参考答案：D略7.直线和直线的位置关系是()A．相交但不垂直

B．垂直

C．平行

D．重合参考答案：B略8.在下列各数中，最大的数是（

）A．

B．C、

D．参考答案：B9.等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=11，S12=186，则a8=（）A．18 B．20 C．21 D．22参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】由数列的性质得a1+a12=a5+a8又因为×（a1+a12）=186所以a1+a12=a5+a8=31所以a8=20【解答】解：由数列的性质得a1+a12=a5+a8又因为×（a1+a12）=186所以a1+a12=a5+a8=31因为a5=11所以a8=20故选B．10.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（

）A．

B．

C．6

D．

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若p或q为真，p且q为假，求实数的取值范围．参考答案：略12.某桔子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10亩进行调查．如果所抽山地是平地的2倍多1亩，则这个桔子园的平地与山地的亩数分别为________、________.参考答案：略13.一条光线从A（5，3）发出，经x轴反射，通过点B（-1，4），则反射光线所在直线方程为

.参考答案：7x+6y-17=014.如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；余弦定理．【分析】连结圆心O与A，说明OA⊥AE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可．【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．所以OA⊥AE，因为AB=AD=5，BE=4，梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5，由切割线定理可知：AE2=EB?EC，所以AE==6，在△ABE中，BE2=AE2+AB2﹣2AB?AEcosα，即16=25+36﹣60cosα，所以cosα=，AB=AD=5，所以BD=2×ABcosα=．故答案为：．15.已知不等式组所表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围为

参考答案：16..P为抛物线上任意一点，P在轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为

．参考答案：略17.已知y=ax（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．参考答案：【考点】几何概型．【分析】根据指数函数的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵y=ax（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，∴0＜a＜1，∴A={a|0＜a＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．（1）证明：CE⊥AB；（2）若AB=PA=2，求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）若∠PDA=60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）作出图形，取AB的中点F，并连接EF，CF，根据条件可以证明AB⊥平面EFC，从而可以得出CE⊥AB；（2）根据条件可以求出梯形ABCD的面积，而PA是四棱锥P﹣ABCD的高，从而根据棱锥的体积公式可求出四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）容易说明∠CEF为直线CE和平面PAB所成的角，由∠PDA便可得到，而CF=AD，这样在Rt△CEF中便可求出tan∠CEF，即求出直线CE与平面PAB所成角的正切值．【解答】解：（1）如图，取AB的中点F，连接EF，CF，则：EF∥PA，CF∥AD；PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD；∴PA⊥AB；∴EF⊥AB；∵∠BAD=∠ADC=90°，∴AB⊥AD；∴AB⊥CF，且EF∩CF=F；∴AB⊥平面EFC，CE?平面EFC；∴AB⊥CE，即CE⊥AB；（2）由题意知，四边形ABCD为梯形，；∴；（3）CF⊥AB，CF⊥PA；∴CF⊥平面PAB；∴∠CEF为CE与平面PAB所成的角；∵∠PDA=60°，∴；∴，CF=AD；∴；∴直线CE与平面PAB所成角的正切值为．【点评】考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及线面角的概念及求法，正切函数的定义．19.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男性女性总计反感10

不反感

8

总计

30

已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列及均值．附：.0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879

参考答案：（1）没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关；（2）.【分析】（1）根据从这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率，做出“中国式过马路”的人数，进而得出男生的人数，填好表格，再根据所给的公式求出的值，然后与临界值作比较，即可得出结论（2）X的可能取值为0，1，2，通过列举法得到事件数，分别计算出它们的概率，列出分布列，求出期望。【详解】(1)列联表补充如下：性别男性女性总计反感10616不反感6814总计161430

由已知数据得K2的观测值K2＝所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X的可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，所以X的分布列为X012P

X的数学期望为E(X)＝.【点睛】本题主要考查了独立性检验应用，通过计算K2的观测值求得结论，通过利用列举法得到事件数，分别计算出它们的概率，列出分布列，求出期望，考查了计算能力，属于中档题。20.某校统计了高一年级两个重点班的所有学生期中考试数学成绩，根据考试分数，学生成绩在[90，150]范围内，得结果如表：甲班：分组[90，105）[105，120）[120，135）[135，150）频数1025105乙班：分组[90，105）[105，120）[120，130）[135，150）频数3172010（1）规定分数120分以上的为学生为优秀学生，分别估计两个班的优秀学生率；（2）由以上统计数据填写2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个班的优秀学生有差异”．（参考9题数据）参考答案：【考点】BP：回归分析．【分析】（1）求出甲、乙班人数和优秀人数，计算优秀率；（2）由以上统计数据填写2×2列联表，计算K2，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）甲班人数是10+25+10+5=50，优秀人数是10+5=15，优秀率是=30%；乙班人数是3+17+20+10=50，优秀人数是20+10=30，优秀率是=60%；（2）由以上统计数据填写2×2列联表如下，

非优秀学生优秀学生总计甲班351550乙班203050总计5545100根据表中数据，计算K2=≈9.091＞6.635，对照临界值得出，能有99%的把握认为“两个班的优秀学生有差异”．21.（本题满分12分）已知复数满足：且是纯虚数，求复数.参考答案：设

……

1分

①

……

3分又是纯虚数

……

5分，且②

……

7分解①②可得或者

……11分或者

……

12分22.如图，抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，1），圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为2的圆M与y轴相切．（Ⅰ）求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）过P（2，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线E相交于A，B两点，与圆M相交于C，D两点，N为线段CD的中点，当，求AB所在的直线方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，1），圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为2的圆M与y轴相切，即可求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）联立?x2﹣4kx+8k=0，又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交