第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)

压轴填空题

第四关以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题

【名师综述】

以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性

问题等.对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放

性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考

命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过

并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，

这需要具有较好的基础知识和敏锐

的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图

形变换）蕴涵了"二维——三维——二维"的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作

"同中求异、异中求同"的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题

型.

类型一几何体在变化过程中体积的最值问题

典例1．如图，等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD的侧棱，AB2，直角边AE绕斜边AB

旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥EBCD体积的取值范围是___________.

【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题

【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.

已知正四棱锥PABCD内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____

类型二

几何体的外接球或者内切球问题

典例2．已知正三棱锥SABC的底面边长为32，P，Q，R分别是棱SA，AB，AC的中点，若PQR是

等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．

【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题

1

【举一反三】已知菱形ABCD中，对角线BD23，将△ABD沿着BD折叠，使得二面角ABDC

为120°，AC33，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为________.

【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题

类型三立体几何与函数的结合

典例3.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段A1D1上的点，过点E作垂直于B1D的平面截正方

体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．

①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是2,8；

17

②M的面积最大值为33；

4

③M的周长为定值．

【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题

【举一反三】如图，点C在以AB为直径的圆周上运动（C点与A，B不重合)，P是平面ABC外一点，

且PA平面ABC，PAAB2，过C点分别作直线AB，PB的垂线，垂足分别为M，N，则三棱

锥BCMN体积的最大值为______．

2

【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题

类型四立体几何中的轨迹问题

典例4.已知P为正方体ABCDA1B1C1D1表面上的一动点，且满足PA2PB,AB2，则动点P运动轨

迹的周长为__________.

【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题

【举一反三】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在

平面BCC1B1内，作PQ平面ACD1，垂足为Q．当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹

所组成的图形的面积等于_____________．

【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题

【精选名校模拟】

1．已知在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上下底面及母线均相切.过直线O1O2的平面截圆柱得到

四边形ABCD，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧CD的中点，则平面PAB与球O的交线长为___________.

【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷

2．已知二面角P

ABC的大小为120°，且PABABC90，ABAP，ABBC6.若点P、

A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.

3

【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题

3．四面体ABCD中，ABBC，CDBC，BC2，且异面直线AB和CD所成的角为60，若

四面体ABCD的外接球半径为5，则四面体ABCD的体积的最大值为_________.

【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题

4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCDEFGH有

外接球，且AB43,AD4,EH26,EF62，点E到平面ABCD距离为4，则该刍童外接球的

表面积为__________.

【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题

5．已知正三棱柱ABCA1B1C1的外接球表面积为40，则正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长之和的最大

值为______．

【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二

6．已知体积为72的长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，且BC3BB1，点M是线段BC

的中点，点N在矩形DCC1D1内运动（含边界）且满足ANDCNM，则点N的轨迹的长度为______.

，

【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷

7．矩形ABCD中，AB3,BC1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体DABC，则

4

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该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD的长度在2,2范围内变化，则点D的运动轨

迹的长度是______．

【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题

8．如图，在四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC=2，AB=CD=23，且异面直线AB与CD所成的角

为60，则四面体ABCD的外接球的表面积为_________.

【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题

9．已知三棱锥PABC外接球的表面积为100，PB平面ABC，PB8，BAC120，则三棱

锥体积的最大值为________.

【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题

10．已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，

且内接于球O，若此三棱柱ABCA1B1C1的高为2，

体积是1，则球O的半径的最小值为___________.

【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题

11．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，P为棱A1D1的中点，且PAAB6，

则四棱锥PABCD的外接球的体积为______.

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【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）

12．如图所示，在三棱锥BACD中，ABCABDDBC

棱锥BACD的外接球的表面积为______.

3，AB3，

BCBD2，则三

【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题

13．在三棱锥PABC中，平面PAB垂直平面ABC，PAPBABAC23，BAC120，

则三棱锥PABC外接球的表面积为_________.

【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题

14．

已知A，，，是体积为205的球体表面上四点，AB4，AC2，BC23，

BCD

若

且三棱维ABCD

3

的体积为23，则线段CD长度的最大值为________．

6

【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题

15．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，ABAD，

CDAD2AB2，PA3，若动点Q在△PAD内及边上运动，使得CQDBQA，则三棱锥

QABC的体积最大值为______.

【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题

16．已知正三棱锥ABCD的底面是边长为23的等边三角形，其内切球的表面积为，且和各侧面分别相

切于点F、M、N三点，则FMN的周长为______．

【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题

17．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACCB，PAACBC4．以A为球心，表面积为36的

球面与侧面PBC的交线长为______．

【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题

18．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，过点A的平面分别与棱BB1，CC1，DD1交于点E，F，G，

记四边形AEFG在平面BCC1B1上的正投影的面积为S1，

四边形AEFG在平面ABB1A1上的正投影的面积为S2.

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给出下面四个结论：

①四边形AEFG是平行四边形；

②S1S2的最大值为2；

③S1S2的最大值为1；

4

④四边形AEFG可以是菱形，且菱形面积的最大值为6.

2

则其中所有正确结论的序号是___________.

【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题

19．已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为6，在该圆柱内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面

体在该圆柱内可以任意转动，则a的最大值为__________．

【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题

20．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，二面角A－PB－C为直二面角，∠APB＝2∠BPC(∠BPC<)，

4

25

M，N分别为侧棱PA，PC上的动点，设直线MN与平面PAB所成的角为当tan的最大值为

.

32时，则

三棱锥P－ABC的体积为__________.

【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题

21．体积为8的四棱锥PABCD的底面是边长为22的正方形，底面ABCD的中心为O1，四棱锥PABCD

的外接球球心O到底面ABCD的距离为1，则点P的轨迹长度为_______________________．

22．如图，在ABC中，BC2AC，ACB120，CD是ACB的角平分线，沿CD将△ACD折起到△ACD

8

的位置，使得平面ACD平面BCD．若AB63，则三棱锥ABCD外接球的表面积是________．

【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题

23．在三棱锥PABC中，ABBC4，