数学垂径定理

问题：它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

实践探究沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

可以发现：

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．活动一如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？?思考·OABCDE活动二

（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：

AE=BE⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒弧:┗在⊙O中，直径CD⊥弦AB∴AM=BM=AB⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理:┗在⊙O中，直径CD平分弦AB∴CD⊥AB⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒弦（不是直径）并且平分弦所对的两条弧

.平分的直径垂直于弦，

你能平分一条弧吗？?1、在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB=8，OA=5，则AC=

，OC=

。┏58431、在⊙O中，OC平分弦AB，AB=16，OA=10，则∠OCA=

°，OC=

。1610906设⊙O的半径是r，圆心到弦的距离d，弦长a，三者关系如何？rd

r2=d2+()2a2O问题：它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ODABCR解得：R≈27．9（m）ODABCR解决求赵州桥拱半径的问题？在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒解:AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2∵半径OC⊥弦AB∴∴AB=37.4mCD=7.2m1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。解：连结OA。过O作OE⊥AB于E，则OE＝3厘米，AE＝1／2AB∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在Rt△

AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米。.AEBO活动三2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ABOE是正方形．·OABCDE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∵AG=BG⌒⌒CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒Gabcd∵a=b，c=d∴a–c=b-d线段加减圆弧加减1、如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD.

求证：AC=BD。

⌒⌒FE解：过点O作OE⊥CD，交CD于点E在⊙O中，OF⊥弦ABG交⊙O于点G交AB于点F，∴AG=BG⌒⌒∵OE⊥弦CD∴CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒

如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB的长。解：连接OA在⊙O中，直径CD⊥弦AB∴AB=2AM△OMA是Rt△∵CD=20∴AO=CO=10∴OM=OC–CM