4.1.2无理数指数幂及其运算性质教学设计-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课题4.1.2无理数指数幂及其运算性质教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1.2节《无理指数幂及其运算》的内容，是在学生学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了分数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则的基础上进一步推广，教科书通过实际问题引入无理数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性.在整节课的学习过程之中体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础.课程目标1.理解无理数指数幂的概念;2.掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3.掌握实数指数幂的运算性质；4.能利用已知条件求值数学学科素养1.数学抽象：无理数指数幂的概念；2.逻辑推理：实数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用实数指数幂的运算性质化简求值；4.数据分析：分析已知条件与所求式子之间的联系；5.数学建模：通过与有理数指数幂性质进行类比，得出无理数指数幂的概念和性质。教学重难点重点：①掌握并运用实数指数幂的运算性质；②能利用已知条件求值．难点：能利用已知条件求值．课前准备多媒体教学环节时间安排教师活动学生活动设计意图批注2min35min3min一、复习巩固，情景导入1.分数指数幂的意义：（1）aeq\s\up12(eq\f(m,n))＝————(a>0，m，n∈N*，且n>1)（2）aeq\s\up12(－\f(m,n))＝eq\f(1,a\f(m,n))＝————(a>0，m，n∈N*，且n>1)（3）0的正分数指数幂等于0，（4）0的负分数指数幂没有意义2．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝r(a>0，b>0，r∈Q)二、探索新知ax(a>0)中的指数x的取值范围从整数拓展到了有理数，若指数x是无理数时，ax的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？观察下表：的是否表示一个确定的实数？的过剩近似值的近似值1.511.180339891.429.8296353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738517752……可以发现，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，5x和5y都趋向于同一个数，这个数就是.也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4，51.41，51.414，51.4142，...,和另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5，51.42，51.415，51.4143，...逐渐逼近的结果，它是一个确定的实数.得到：1.无理数指数幂定义：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.2．实数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈R．(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈R)．三、典例解析题型1根式与分数指数幂的互化例1．将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1）（a>0）；（2）（x>0）；（3）（b>0）.【分析】（1）原式==.（2）原式===.（3）原式==.解：（1）原式====.（2）原式======.（3）原式===.规律方法]根式与分数指数幂互化的规律1)根指数分数指数的分母被开方数(式)的指数分数指数的分子2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题变式训练．把下列根式化成分数指数幂：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）=；（2）；（3）；（4）==.题型2、利用分数指数幂的运算性质化简求解例2．计算：（1）；（2）（3）.【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得；（2）将根式化成分数指数幂，再根据分数指数幂的运算法则计算可得；（3）根据根式的性质及幂的性质计算可得；解：(1)=；(2)；(3)规律方法指数幂运算的常用技巧1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算2负指数幂化为正指数幂的倒数3.底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质变式训练2．化简：；解：（1）原式==+=例3．已知，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据计算即可；（2）根据计算即可；（3）由于，进而根据即可求解.解：（1）∵，∴；（2）∵，∴；（3）∵，，∴∴.规律方法解决条件求值的思路1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用变式训练3.已知，求的值．解：，，，.四、小结1.利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。2.指数幂运算性质五、作业课本109页习题4.1学生思考，独立完成学生思考，独立完成师生共同完成师生共同完成师生共同完成师生共同完成师生共同完成学生独立完成学生独立完成师生共同完成师生共同完成师生共同总结结论学生独立完成师生共同寻找规律，达到结论学生总结学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；通过温故知新，帮助学生在分数指数幂的基础上，正确理解无理数指数幂的概念，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养。学生理解概念，培养逻辑思维能力通过具体事例根，培养学生分析问题的能力，发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。培养学生总结概括的能力，发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。培养学生应用公式的能力培养学生应用公式的能力培养学习的抽象思维能力巩固所学知识巩固所学知识检查公式的掌握情况培养学生的独立思考能力，