2021-2022学年广西壮族自治区崇左市龙华中学高三数学理期末试题含解析

2021-2022学年广西壮族自治区崇左市龙华中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数，集合，，则右图中阴影部分表示的集合为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为

A.

B.

C.

D.参考答案：D3.若三角形ABC的内角A满足sin2A=,则sinA+cosA等于(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C4.集合．若,则实数的值为

（

）A．1

B．-1

C．±1

D．0或±1参考答案：D5.已知M是抛物线上的任意一点，以M为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线C交于P，Q两点，则线段PQ的中点的纵坐标为（）A.2 B.4 C.6 D.8参考答案：A【分析】根据抛物线的定义求得抛物线的方程，设出斜率为的直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去，然后利用韦达定理求得中点的纵坐标.【详解】由于为圆心的圆与直线相切且经过点，根据抛物线的定义可知为抛物线的焦点，故，，所以抛物线方程为.设斜率为的直线的方程为，则，代入抛物线方程得，即，所以，.即中点的纵坐标为，故选A.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.6.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第n天所织布的尺数为，则的值为A．56

B．52

C．28

D．26参考答案：D7.函数的零点的个数为A．1

B．2

C．3D．4参考答案：C略8.若，，，则A．

B．

C．

D．参考答案：答案:A解析：，，，9.已知，在区间[0,2]上存在三个不同的实数,使得以为边长的三角形是构成直角三角形，则的取值范围是（

）．A.

B.

C.

D.参考答案：B10.若，则二项式的展开式中含x项的系数是(

)A．210

B．

C．240

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________参考答案：【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．N3答案

解析：由得，，代入得，解得或（舍），

所以曲线与的公共点到极点的距离为，

故答案为：．【思路点拨】联立与消掉即可求得，即为答案．12.已知中，，，且，则的取值范围是▲。参考答案：【知识点】向量的数量积

F3因为，所以，即可得，因为可得，设，所以有，因为，可得，所以，故答案为.【思路点拨】根据题意可得，由平方可得，可得，根据角B的范围求得，而即可求得.13.函数在上是单调减函数，则实数的取值范围是_______。参考答案：略14.同位一间寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一个在听音乐（1）A不在修指甲，也不在看书；（2）B不在听音乐，也不在修指甲，（3）如果A不在听音乐，那么C不在修指甲；（4）D既不在看书，也不在修指甲；（5）C既不在看书，也不在听音乐。若上面的命题都是真命题，问她们各在做什么？

A在_____________；B在_____________；C在____________；D在____________。参考答案：答案：听音乐、看书、修指甲、梳头发15.某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在小时内的人数为_____．参考答案：5416.函数，实数互不相同，若，则的范围为

．参考答案：略17.函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________．参考答案：由得，即，解得或．即，，所以，所以由图象可知要使直线与函数的图像有三个不同的交点，则有，即实数的取值范围是．不妨设，则由题意可知，所以，由得，所以，因为，所以，即存在最大值，最大值为1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数(Ⅰ)讨论f(x)的单调性(Ⅱ)当时，过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求实数的值；(Ⅲ)a=4时，y=f(x)的图像与直线y=m有三个交点，求m的取值范围参考答案：(I)(I)(1)时，在减，为增，(2)0<a<2时，增，减，为增(3)时，增，减，增，(4)时，为增

(II)，所以切线的斜率，整理得,显然是这个方程的解，又因为在上是增函数，所以方程有唯一实数解，故.

略19.（本题满分12分）设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且。(1)求数列的通项公式；(2)若为数列的前项和，求证：。参考答案：（1）由

……4’

（2）数列为等差数列，公差

从而

从而

………………12’20.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；（2）若PA=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）判断垂直．证明AE⊥BC．PA⊥AE．推出AE⊥平面PAD，然后证明AE⊥PD．（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，平面AFC的一个法向量．通过向量的数量积求解二面角的余弦值．解：（1）垂直．证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以AE⊥PD．（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，2），，，所以，．设平面AEF的一个法向量为，则，因此，取z1=﹣1，则．因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一个法向量．又，所以．因为二面角E﹣AF﹣C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21.在单调递增数列{an}中，a1=2，a2=4，且a2n﹣1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n=1，2，3，…．（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列为等差数列；（ⅱ）求数列{an}的通项公式．（Ⅱ）设数列的前n项和为Sn，证明：Sn＞，n∈N*．参考答案：【考点】数列的求和；等差关系的确定；等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）通过题意可知2a2n=a2n﹣1+a2n+1、，化简即得结论；（ⅱ）通过计算可知数列的首项及公差，进而可得结论；（2）通过（ii）、放缩、裂项可知＞4（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】（Ⅰ）（ⅰ）证明：因为数列{an}为单调递增数列，a1=2＞0，所以an＞0（n∈N*）．由题意得2a2n=a2n﹣1+a2n+1，，于是，化简得，所以数列为等差数列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ⅱ）解：因为a3=2a2﹣a1=6，，所以数列的首项为，公差为，所以，从而．结合，可得a2n﹣1=n（n+1）．因此，当n为偶数时an=，当n为奇数时an=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证明：通过（ii）可知=．因为an=，所以，∴+…=，所以，n∈N*．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22.（本小题共13分）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。（Ⅰ）求证：

(Ⅱ)

求证：（Ⅲ）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。参考答案：（Ⅰ）

,点E为的中点,连接。的中位线//

……2分又

……4分（II）正方形中,

由已知可得：，

…….6分,

…….7分

…….8分（Ⅲ）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

………9分