大二概率论线性代数模拟题

行列式 0 kxy2z若齐次线性方程组xky2z0有非零解，且k21,则k的值 kxykz若4×4阶矩阵A的行列式A3,A是A的伴随矩阵则A A为nn阶矩阵，且A23A2E，则

和

R3131223,21223,321223，若由基1,2,31,2,3的基变换为(1,2,3)=(1,2,3)A，则

设 2,B 1

0,则AB之迹tr(AB)

1若33阶矩阵A的特征值分别1,2,3,则A1的特征值分别 二次型f(x,x,x) 2

2 2的正惯性指数

矩阵 为正定矩阵，则的取值范围 当a取何值时线性方程组

给定向量组a11,1,0,4a2

。当ka1a2a3a4 0 6设矩阵A 1，B 1,且满足

4

A为n阶正交矩阵，且|A|<0（2）

A

0 0 （1）求正交矩阵Q，使Q-1AQ（2）A10

(x , x22x2

四、证明题（5分A、Bn阶矩阵，且A、B、A+B001.0n

n1 102.0

100

（n为正整数

1，则(2A)1 11非齐次线性方程组AmnXn1bm1有唯一解的充分必要条件 12向量a(3,1)T在基(1,2)T, 12若n阶矩阵A、B、C有ABC=E,E为n阶单位矩阵则C1 若n阶矩阵A有一特征值为2，则A2E 若A、B为同阶方阵，则(AB)(AB)A2B2的充分必要充分条件 正交矩阵A如果有实特征值，则其特征值等

2

3)

x21值范围 1

6,则0

0的值为 1 设A、B都是n阶矩阵且ABO,则下列一 A、A=0或 B、A、B都不可C、A、B中至少有一个不可 D、 B、a1a2asC、a1a2as中每一个向量都可用其余s1D、a1a2ass11由R3的基1

2a2

00

B、

0 0 010D、1

1

D、存在可逆矩阵C,使CTAC123 n123 nn10 002 0 000 20000 n1n 2x1x2x3x4

x1

x4

当a、b7x12x22x34x47x1x2x35x4情况下，求其全部解（用其导出组的基础解系线性表示 0 设AXBX,其中A1 1,B 0,求

0

已知矩阵A

0与B

0

x（1）x;(2)求可逆矩阵P,使P1AP1给定R3的基1

23正准交基，并求向量a3,2,1)T23

1x,3

x2

x2

12x3的非奇异线性变换。并二次型的秩、正惯性指数及符号差12x3四、证明题（7分`如果An阶矩阵(n2),且rA)n 4.3E1

5.

3333

12

3

2列的(c13列的(c2)倍,,第(n1)(cn

00

000nbca1a2an(a0iii15 5 5 1231242000a0000 000所以，当a5时,方程组有解，特解 0

其导出的基础解系为0,2,1,0)T4,1,0,1)T原方程组的全部解为Xkkkk为任 1 2 由向量组a1a2a3a4 A

当k14a1,a2,a3,a4a1a2a3且a42a1a2a3（A-

01 6所以有X=(A2E)1B= 01 01

2

11

11=

1 A21A1A0A1AE

AAATA(EAT)

AE

AEAE12121EA(2)2A4特征值为12121

2110(1,01)T，标准正交化11

)T；对应于特征值2

2(1,01)T(0,1,0)T

)T121223a0,1,0)T121223

0 0 由此可得正交矩阵Q(a,a,a) 131 3122

22使得Q1AQQTAQ

0A为对角矩阵。 A10QA10Q1

0

290029

(x1,

,

)

)2

x22x223223

)2

)2 x23y1x1x2 x1y1x23令 yx 所作的可逆线性变换为xy

2222

可将原二次型化为

yy2四、证明题（5分

A1B1)BAB)1AA1BAB)1AB1B(AB)1A1B(AB)1AA1A(AB)1A1(BA)1(AB)1A或BAB)1A11A1AB)B1A1AB1A1BB1B1A1

1

(1)

0

r(A)r(Ab)1 , 9.1或- 10.t3 1. 4. 5.n(n(n20000原式

n(n2n(n2

n002n002n

00011(1)n1n(n1)(n1)!21113600当a5且b81212Xrc11

c1c2A

55且a4

1a,

13

2 3

3

3AX+B=X，得（E-A）X=BXEA)1 0 0 X(E

由于ABEAEB,可得x所以，A的特征值为10,23,3对于1对于2对于

0A3A2A

(

1,使P1AP

12,

20

3 1313

1616

2,1

f(x1,123123

,x3)

x2

x2

x2

)2

)