高中数学指数函数与对数函数习题课指数函数对数函数的综合应用

习题课

指数函数、对数函数的综合应用1.指数式与对数式的取值范围提示:(0,+∞)(2)形如log2x,lnx,的对数式,自变量取值和代数式的取值范围分别是什么?提示:①自变量的取值范围,即为对应函数的定义域(0,+∞);②代数式的取值范围,即为对应函数的值域R.2.已知a>0,a≠1,则a2>a3与loga2>loga3是否一定成立?提示:不一定.当0<a<1时,成立;当a>1时,a2<a3,loga2<loga3.3.填空:指数函数与对数函数的单调性指数函数f(x)=ax,对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1).①当0<a<1时,函数f(x)单调递减;②当a>1时,函数f(x)单调递增.4.做一做(1)(2019天津,文5)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为(

)A.c<b<a B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b(3)方程22x+1-2x-3=0的解为

.

解析:(1)a=log27>log24=2.b=log38<log39<2,且b>1.又c=0.30.2<1,故c<b<a,故选A.(2)设t=x+1,因为0<x<8,所以1<t=x+1<9.所以所求函数的值域为(-2,0).(3)令2x=t>0,则方程22x+1-2x-3=0转化为2t2-t-3=0,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用指数函数、对数函数性质解不等式例1

解下列关于x的不等式:(4)已知log0.72x<log0.7(x-1),求x的取值范围.分析:(1)先将

化为2-x-5,16化为24,再利用指数函数的单调性求解;(2)讨论a的取值范围,利用指数函数的单调性求解;(3)根据参数a的取值范围,利用对数函数的单调性求解;(4)根据对数函数的单调性以及定义域列出不等关系求解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练∴-x-5≤4,∴x≥-9.故原不等式的解集为{x|x≥-9}.(2)当0<a<1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.当a>1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.综上所述,当0<a<1时,不等式的解集为{x|x≥-6};当a>1时,不等式的解集为{x|x≤-6}.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(4)因为函数y=log0.7x在区间(0,+∞)上为减函数,解得x>1.故x的取值范围是(1,+∞).探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.解指数不等式问题时需注意的三点(1)形如ax>ay的不等式,借助y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.(2)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解.(3)形如ax>bx的形式利用函数图象求解.2.解简单的对数不等式,需要注意两点(1)首先注意对数函数的定义域,即真数的取值范围的限制;(2)要根据底数与1的大小关系,分析函数的单调性,进而将对数值大小关系转化为真数的大小关系;若底数中含有参数,需要对参数进行分类讨论.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:原不等式可化为a2x+1>a-(x-5),即a2x+1>a5-x.①当0<a<1时,函数y=ax单调递减,故由不等式可得2x+1<5-x,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练指数函数性质的综合应用

(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义加以证明;(2)求函数f(x)的值域.解:(1)f(x)在定义域上是增函数.证明如下:任取x1,x2∈R,且x1<x2,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)为R上的增函数.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.本题第(2)小题是指数型函数求值域.解答时一定要关注指数3x的取值范围是(0,+∞).2.证明指数型函数的单调性与奇偶性时,一般是利用定义来解决.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)求函数f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的奇偶性;(3)证明f(x)>0.(1)解:因为要使函数有意义,需2x-1≠0,即x≠0,所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).所以f(-x)=f(x),又由(1)知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于y轴对称,故f(x)是偶函数.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(3)证明:当x>0时,2x>1,所以2x-1>0.又因为x3>0,所以f(x)>0.当x<0时,0<2x<1,所以-1<2x-1<0.又因为x3<0,所以f(x)>0.所以当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,f(x)>0.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对数函数性质的综合应用

(1)求f(x)的定义域;(2)判断函数的奇偶性和单调性.分析:此函数是由y=logau,u=复合而成的,求函数的性质应先求出定义域,再利用有关定义,去讨论其他性质.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解得x>1或x<-1.所以函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.对于类似于f(x)=logag(x)的函数,利用f(-x)±f(x)=0来判断奇偶性比较简便.2.对数型复合函数的单调性应按照复合函数单调性“同增异减”的原则来判断:设y=logaf(x)(a>0,且a≠1),首先求满足f(x)>0的x的取值范围,即函数的定义域.假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增,在子区间I2上单调递减,则(1)当a>1时,函数y=logaf(x)的单调性与内层函数f(x)的单调性相同,即y=logaf(x)在I1上单调递增,在I2上单调递减;(2)当0<a<1时,函数y=logaf(x)的单调性与内层函数f(x)的单调性相反,即y=logaf(x)在I1上单调递减,在I2上单调递增.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究本例已知条件不变,求f(x)>0时x的取值范围.解得x<-1,即x的取值范围是(-∞,-1).综上,当a>1时,x的取值范围是(1,+∞),当0<a<1时,x的取值范围是(-∞,-1).探究一探究二探究三思维辨析随堂演练因忽略对底数的讨论而致错典例

已知函数y=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值的差是1,求a的值.错解因为函数y=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值是loga4,最小值是loga2,以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:错解中误以为函数y=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上是增函数.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练正解:(1)当a>1时,函数y=logax在区间[2,4]上是增函数,防范措施在解决底数中包含字母参数的对数函数问题时,要注意对底数进行分类讨论,一般分a>1与0<a<1两种情况.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为(

)解析:当a>1时,函数y=ax和y=logax在区间[1,2]上都是增函数,所以f(x)=ax+logax在区间[1,2]上是增函数;当0<a<1时,函数y=ax和y=logax在区间[1,2]上都是减函数,所以f(x)=ax+logax在区间[1,2]上是减函数.两种情况下最大值与最小值之和均为f(1)+f(2)=a+a2+loga2=6+loga2,即a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故a=2.答案:C探究一探究二探究三思维辨析随堂演练A.(3,5] B.[-3,5]C.[-5,3) D.[-5,-3]解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,即log2(3-x)≤3,∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.答案:C探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:A探究一探究二探究三思维辨析随堂演练A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2解析:y1=40.9=(22)0.9