高中数学-函数的零点与方程的解教学设计学情分析教材分析课后反思

《4.5.1函数的零点与方程的解》教学设计一、教材分析：本节内容是新版人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章第五节函数的应用（二）中的第一节，是一节新授课，主要研究函数零点的定义、函数零点的等价关系、函数零点存在定理，让学生学会用函数的图象和性质研究函数的零点，进而解决求方程的解或解的个数问题。教材先通过一个思考，从研究不能用公式求解的方程出发，在二次函数零点的基础上，直接引出一般函数零点的概念，再通过二次函数的零点存在的特征，导出一般函数零点存在定理，并用例1说明函数零点存在定理的应用。这种从特殊到一般的抽象概括过程，易于学生接受。函数是高中数学的核心概念，贯穿于高中数学的始终，函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形、函数与方程有机的联系在一起，本节课就突出了函数的核心地位，并将重心放在了应用函数性质研究方程的解上。本节是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定了重要的基础，具有承前启后的作用。课标分析新课程标准对本节课的要求是结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系；结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.会判断函数零点的个数.本节课既要体现指数函数和对数函数的应用，又要体现函数性质的应用，既要利用函数的局部性质分析其整体性质，注重用函数特征来判定方程的解的存在，又要体现用函数观点研究方程的解的基本方法，突出函数零点与方程解的有机联系。通过函数的应用，突出数学运算素养。在函数零点与方程的解的转化过程中，逐步渗透化归与转化思想、函数与方程思想和数形结合思想，以此帮助学生通过直观想象进一步领悟函数的本质。素养要求是通过本节内容的学习，使学生体会转化思想在研究函数中的作用，提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算素养.三、学情分析：高一学生已经学习了函数的概念和一些基本初等函数，指数函数、对数函数、幂函数，具备解基本方程的的能力，也接触过简单的指数方程、对数方程，并在解一元二次不等式中，已经初步了解了二次函数的零点，已经形成了一定的函数与方程、数形结合的数学思想，具备了一定的探究问题、解决问题的能力.这为继续研究一般情况下方程的根与函数的零点做好了铺垫和准备.但本班的学生，在基础上比较薄弱，遇到新问题时，如何运用已有知识，变换角度去探索新的解决问题的途径的能力还有待提高，学生的观察、归纳、抽象能力也不高，需从学生已有的经验出发，设计问题情境，充分调动学生学习的积极性和主动性，让学生成为课堂学习的主人。四、教学目标：通过具体情境，让学生感受到研究函数零点的必要性，激发学生的探索精神；通过具体实例，让学生理解函数零点的本质含义、等价关系，并探究发现函数零点存在定理，提升学生严谨治学的数学思维能力，促进学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养；在问题解决中渗透数形结合、转化与化归、函数与方程这三大数学思想；教学重点：函数零点的概念、等价关系以及零点存在性的判定.教学难点：准确理解零点的概念，灵活运用方程与函数思想解决问题.教法学法：创设情境，以问题为核心，采用问题解决式教学法，引导学生独立思考、自主探究、小组合作。五、教学过程：【课前预习区】：【探究1】判断下列方程是否有实数根？若有，有几个？1.2.3.[设计意图]：前两题复习旧知，由第3题引起学生认知冲突，激起学生求知欲望，引导学生转换思想，让学生体会研究函数零点的必要性.【探究2】填写下表，并观察“二次方程的根”与“对应函数图象与轴交点坐标”有什么关系？一元二次方程二次函数二次函数的图象一元二次方程的实数根二次函数的图象与轴的交点[设计意图]：通过表格与图象，借助具体的二次函数，剖析一元二次方程的根与对应的二次函数图象与轴交点的横坐标之间的关系，并复习二次函数的零点，进一步体会“二次方程的根”、“函数的零点”、“函数图象与轴的交点的横坐标”的关系,为函数零点的概念推广做好铺垫.【课堂互动区】一、概念建构函数的零点：对于函数，我们把使___的实数叫做函数的零点.小结：（1）函数的零点，从数的角度看，就是对应方程的___________；从形的角度看，就是函数图象与____轴交点的______.等价关系：函数有零点方程有______函数的图象______思考：零点是点吗？题型一求函数的零点【例1】、函数y＝1＋eq\f(1,x)的零点是()A.(－1，0)B.x＝－1C.x＝1 D.x＝0规律方法探究函数零点的两种求法(1):求方程的根；（2）：函数图象与x轴交点的横坐标【训练1】：设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________.[设计意图]：由定义巩固所学的零点定义以及转化的思想。二、零点存在定理的探究问题1：观察下列甲、乙两图，小王要从A地，步行去B地，请问哪种情况中小王一定要渡过这条小河？问题2：将小河抽象成轴，A、B两抽象为A、B两点.上述问题就抽象为一个数学问题：当A、B两点与轴有怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与轴一定有交点？问题3：假设A、B间这段连续不断的函数为y=f(x)，A、B两点的坐标分别为（a，f(a)),（b，f(b))，那么，A、B两点在轴的两侧，如何用数学符号（式子）来表示？问题4：一般地，如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在内一定有零点吗？若有，有几个？[设计意图]：通过问题组的设置，让学生从生活问题抽象出数学问题，借助图象探究发现函数零点存在定理，并引导学生用数学语言表述.函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条_________的曲线，并且有____________，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解．[设计意图]：让学生感受数学文化，提高学习的积极性和主动性.辨析题：（1）若函数满足，则函数在区间内有零点.（2）若函数在区间内有零点，则一定有.（3）若函数在区间上连续，且有，则函数在区间内只有一个零点.[设计意图]：通过辨析题加深学生对于零点存在定理的理解.第（1）题让学生体会“函数图象连续不断”这个条件不可少，第（2）题让学生进一步理解“函数零点存在定理给出了函数有零点的一个充分条件，而不是必要条件”，第（3）题让学生思考：在零点存在定理原有条件基础上再增加一个什么条件，就可以判断函数在区间内只有一个零点？从而得到零点存在定理的推论，也为例3中根据函数单调性进一步确定零点个数做好铺垫.题型二判断函数零点所在的区间【例2】观察下表，判断函数在定义域内是否有零点？为什么？-2-1012-109-10-18107思考：方程有实数解吗？[设计意图]：检验学生对函数零点存在定理的准确应用，并进一步渗透方程和函数的相互转化思想，为例3的解决提供思路.规律方法函数零点存在定理的应用首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否，再看是否有.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.【训练2】：函数的零点所在的一个区间是（）（-2，-1）B.（-1，0)C.(0,1)D.(1,2)[设计意图]：巩固判断函数零点所在的区间的方法题型三判断函数零点的个数【例3】判断函数f(x)＝零点的个数.[设计意图]：运用函数零点存在定理，从“数”的角度，并结合单调性，来判断函数的零点个数；运用GeoGebra软件画出函数的图象，从“形”的角度，来判断函数零点的个数.从而借助函数思想，解决本节课的初始问题.规律方法判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.(4)转化成函数图象的问题.【训练3】函数f(x)＝lnx－的零点的个数是()A.0B.1C.2 D.3[设计意图]：进一步巩固函数零点存在定理.课堂小结：本节课你学到了哪些知识和方法？知识：函数的零点，零点的等价条件，零点存在定理思想方法：数形结合，函数与方程,转化与化归【课堂巩固区】素养训练(2015年会考)函数f(x)＝x3－x的零点有()0个B.1个C.2个 D.3个(2018年会考)函数f(x)＝的零点是()A.(2，0)B.2C.eq\f(1,2) D.13.函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点所在的大致区间为（）A.(0，1)B.(1，e)C.(2，3)D.(3，4)【课后思考区】1、若是定义域为的奇函数，且在上有一个零点，则的零点个数为()A.3B.2C.1D.不确定2.思考题：由训练2可知函数在区间上有零点，那么能否把零点所在的区间继续精确呢？作业：A组：分层251页1-5B组：分层251页6-10[设计意图]：作业分为A,B组，A组习题是针对本节课的内容进行复习练习，B组题目难度较大，照顾学有余力同学，实践作业，丰富学生的知识面，提高学生的数学思维品质.说明：本节课的课件和学案借鉴了青岛六十六中刘彩梅老师的设计。《4.5.1函数的零点与方程的解》学情分析高一学生已经学习了函数的概念和一些基本初等函数，指数函数、对数函数、幂函数，具备解基本方程的的能力，也接触过简单的指数方程、对数方程，并在解一元二次不等式中，已经初步了解了二次函数的零点，已经形成了一定的函数与方程、数形结合的数学思想，具备了一定的探究问题、解决问题的能力.这为继续研究一般情况下方程的根与函数的零点做好了铺垫和准备.但本班的学生，在基础上比较薄弱，遇到新问题时，如何运用已有知识，变换角度去探索新的解决问题的途径的能力还有待提高，学生的观察、归纳、抽象能力也不高，需从学生已有的经验出发，设计问题情境，充分调动学生学习的积极性和主动性，让学生成为课堂学习的主人。《4.5.1函数的零点与方程的解》效果分析1、在课前案中，由学生熟知的一次函数，二次函数入手，还有一个超越方程，超出学生范围，反而触动学生的好奇心，带着疑问引入课题。效果分析:激发学生的学习函数零点的兴趣，激发学生的求知欲，比较成功。由lnx+2x-6=0引入，中间探究完函数零点存在定理之后，例题3又回归主题，用两种方法展示解题过程，并且充分应用了GeoGebra软件画图，展示了三个图像，直观明了的解决了学生的疑惑。效果分析:将直观想象的数学素养展示的淋漓尽致，课程设计合理美妙，回扣主题，学生意犹未尽。3、在探究函数零点存在定理时，每一个环节教师都是把问题抛给学生，让学生自主发觉问题，并自己解决，充分发挥学生的主体地位。从探索定理内容，到例题的讲解再到练习题的完成，都是教师在引导着学生在完成。效果分析：学生积极反应，配合老师，气氛活跃，乐在其中。4、例题和练习题，做到举一反三。效果分析:展示不同应用方向的例题让学生加深对知识理解，选择合适简单的方法，一题多解、一题多变，举一反三，提高运算能力、逻辑推理能力等学科素养.5、课后案进一步巩固提高所学知识，应用所学知识。效果分析:及时训练、巩固提高，及时总结归纳思路方法。《4.5.1函数的零点与方程的解》教材分析本节内容是新版人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章第五节函数的应用（二）中的第一节，是一节新授课，主要研究函数零点的定义、函数零点的等价关系、函数零点存在定理，让学生学会用函数的图象和性质研究函数的零点，进而解决求方程的解或解的个数问题。教材先通过一个思考，从研究不能用公式求解的方程出发，在二次函数零点的基础上，直接引出一般函数零点的概念，再通过二次函数的零点存在的特征，导出一般函数零点存在定理，并用例1说明函数零点存在定理的应用。这种从特殊到一般的抽象概括过程，易于学生接受。函数是高中数学的核心概念，贯穿于高中数学的始终，函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形、函数与方程有机的联系在一起，本节课就突出了函数的核心地位，并将重心放在了应用函数性质研究方程的解上。本节是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定了重要的基础，具有承前启后的作用。测评练习(2015年会考)函数f(x)＝x3－x的零点有()0个B.1个C.2个 D.3个(2018年会考)函数f(x)＝的零点是()A.(2，0)B.2C.eq\f(1,2) D.13.函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点所在的大致区间为（）A.(0，1)B.(1，e)C.(2，3)D.(3，4)4若是定义域为的奇函数，且在上有一个零点，则的零点个数为()A.3B.2C.1D.不确定5函数在区间上有零点，那么能否把零点所在的区间继续精确呢？《4.5.1函数的零点与方程的解》教后反思高一数学组近期，我在高一十班，讲授了一节《4.5.1函数的零点与方程的解》。课虽然已讲完，但还有很多感受和反思。本节课是人教版A版必修一第四章第五节第一课时的内容，是在学生学习了幂函数、指数函数、对数函数的背景下进行的，为下一课时用二分法求方程的近似解做铺垫。最新课标要求学生结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系；了解零点存在性定理、会判断函数零点的个数。素养要求学生体会转化思想在研究函数中的作用，提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象素养。本节课分为以下几个环节，环节一:课前预习区：探究一和探究二，是学生在课前需要完成的，探究一用有几个解来引出今天的主题，同时也布下悬念：探究二，复习一元二次方程、二次函数以及图像，引出零点的概念。也就是进入课堂互动区：一、概念建构，由特殊到一般，引出函数零点的概念，顺便强调零点是否是点，数形结合，引出三个等价关系，顺理成章引出求零点的方法，紧接着进入题型一求函数的零点，例1学生一起回答，后小结，训练1学生板书并讲解，锻炼学生的自我学习能力，增加学习兴趣。这时回归刚上课的问题可以如何解决？引出定理的研究（二、定理探究）这里采用问题串的形式，从过马路的实际问题出发，以四个问题连续启发引导学生得到函数零点存在定理，学生们觉得很新奇，对这部分数学知识产生了极大的学习兴趣。之后，三个辨析题让学生体会定理的四个关键词，“区间、连续不断、f(a)·f(b)<0、至少有一个零点”，加深理解；利用定理完成题型二判断函数零点所在的区间，定理的及时应用，点明关键点，训练二学生独立完成，由学生讲解，手机投屏展示学生的做题方法，并小结规律方法。在