2022-2023学年陕西省西安电子科技中学高一（下）期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年陕西省西安电子科技中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1．下列各式中，恒成立的是（）A． B．﹣＝0 C． D．2．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为（）A．A⊂a，a⊂α，B∈α B．A∈a，a⊂α，B∈α C．A⊂a，a∈α，B⊂α D．A∈a，a∈α，B∈α3．已知a为实数，若复数z＝a2﹣3a﹣4+（a﹣4）i为纯虚数，则复数a﹣ai在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA＝4sinC，则△ABC的外接圆面积为（）A．16π B．8π C．4π D．2π5．一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为（）A．8 B．8 C．8 D．46．若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中真命题是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥α B．若a∥α，b∥α，则a∥b C．若a∥b，b∥α，则a∥α D．若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面7．在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，则a＝（）A．6 B．12 C．6或12 D．无解8．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（）A． B．1 C． D．二、多选题（每小题5分，共20分）（多选）9．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中正确的是（）A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线（多选）10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（）A．sin（B+C）＝sinA B．cos（B+C）＝cosA C．若a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形 D．若a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形（多选）11．下列说法正确的是（）A．向量在向量上的投影向量可表示为 B．若，则与的夹角θ的范围是 C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° D．若，则（多选）12．点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）A．若，则点O为△ABC的重心 B．若，则点O为△ABC的垂心 C．若，则点O为△ABC的外心 D．若，则点O为△ABC的内心三、填空题（每小题5分，共20分）13．如图是用斜二测画法画出△AOB的直观图，则△AOB的面积为．14．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝．15．已知向量＝（1，3），＝（3，4），若（﹣λ）⊥，则λ＝．16．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B，则下列三个不等式中成立的是．①sinA＞sinB；②cosA＜cosB；③sinA+sinB＞cosA+cosB．四、（解答题，共计70分）17．计算：（1）；（2）；（3）；（4）已知向量，，计算，；（5）已知向量，满足，，计算．18．已知，，是同一平面的三个向量，其中＝（1，）．（Ⅰ）若||＝4，且，求的坐标；（Ⅱ）若||＝1，且（）⊥（），求与的夹角θ．19．（1）在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，求所形成的几何体的体积；（2）侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，求该三棱锥的表面积．20．如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝．（1）用表示向量；（2）若点F在AC上，且，求AF：CF．21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b＝5，c＝，且cosA+a＝b．（1）求C的大小；（2）求△ABC的面积．22．（1）已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面；（2）如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线EH，BD，FG相交于一点．

参考答案一、单选题（每小题5分，共40分）1．下列各式中，恒成立的是（）A． B．﹣＝0 C． D．【分析】由向量线性运算直接判定即可．解：由向量的线性运算可知，，故A错误；，故B错误；，故C错误；＝＝，故D正确．故选：D．【点评】本题考查向量的线性运算，属基础题．2．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为（）A．A⊂a，a⊂α，B∈α B．A∈a，a⊂α，B∈α C．A⊂a，a∈α，B⊂α D．A∈a，a∈α，B∈α【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可．解：A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为：A∈a，a⊂α，B∈α．故选：B．【点评】本题考查空间中，点、线、面的符号表示方法，基本知识的考查．3．已知a为实数，若复数z＝a2﹣3a﹣4+（a﹣4）i为纯虚数，则复数a﹣ai在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据复数是纯虚数求出a的值，结合复数的几何意义进行求解即可．解：若复数z＝a2﹣3a﹣4+（a﹣4）i为纯虚数，则得得a＝﹣1，则复数a﹣ai＝﹣1+i对应的坐标为（﹣1，1）位于第二象限，故选：B．【点评】本题主要考查复数的几何意义以及复数的概念，求出a的值是解决本题的关键．比较基础．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA＝4sinC，则△ABC的外接圆面积为（）A．16π B．8π C．4π D．2π【分析】设△ABC的外接圆半径为R，由余弦定理化简已知可得c＝4sinC，利用正弦定理可求2R＝＝4，解得R＝2，即可得解△ABC的外接圆面积．解：设△ABC的外接圆半径为R，∵acosB+bcosA＝4sinC，∴由余弦定理可得：a×+b×＝＝c＝4sinC，∴2R＝＝4，解得：R＝2，∴△ABC的外接圆面积为S＝πR2＝4π．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．5．一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为（）A．8 B．8 C．8 D．4【分析】正方体的体对角线即为其外接球的直径，即可求出正方体的棱长，由正方体的表面积公式求解即可．解：因为球的半径为1，且正方体内接于球，所以球的直径即为正方体的对角线，则正方体的对角线的长为2，不妨设正方体的棱长为a，则3a2＝4，解得，所以正方体的表面积为．故选：A．【点评】本题考查了正方体外接球问题，解题的关键是掌握正方体的体对角线即为其外接球的直径，考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题．6．若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中真命题是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥α B．若a∥α，b∥α，则a∥b C．若a∥b，b∥α，则a∥α D．若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．解：若a∥b，b⊂α，则a⊂α或a∥α，故A错误；若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故B错误；若a∥b，b∥α，则a⊂α或a∥α，故C错误；若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，故D正确．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．7．在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，则a＝（）A．6 B．12 C．6或12 D．无解【分析】由已知利用余弦定理可得a2﹣18a+72＝0，解方程即可求解a的值．解：∵b＝6，c＝6，C＝30°，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得36＝a2+108﹣2××，整理可得：a2﹣18a+72＝0，∴解得a＝12，或6．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．8．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（）A． B．1 C． D．【分析】画出图形，延长正三棱台的三条棱AA'，BB'，CC'，交于点P，作PO⊥底面ABC于O，连接BO，然后转化求解即可．解：一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，如图，延长正三棱台的三条棱AA'，BB'，CC'，交于点P，因为AB＝BC＝AC＝6，A'B'＝B'C'＝A'C'＝3，则PA＝PB＝PC＝2AA'＝4，作PO⊥底面ABC于O，连接BO，则，故，故正三棱台ABC﹣A'B'C'的高为．故选：B．【点评】本题考查棱台与棱锥的关系，直线与平面垂直的判定与应用，棱台高的求法，是中档题．二、多选题（每小题5分，共20分）（多选）9．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中正确的是（）A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线【分析】由异面直线的定义可判断A、C、D；取D1D的中点K，连接AK，可判断B．解：CC1⊂平面CC1D1D，M∈平面CC1D1D，M∉CC1，A∉平面CC1D1D，由异面直线定义可得直线AM与C1C是异面直线，故A错误；同理判断直线BN与MB1是异面直线，故C正确；直线AM与DD1是异面直线，故D正确；取D1D的中点K，连接AK，可得AK∥BN，AK与AM相交，直线AM与BN是异面直线，故B错误．故选：CD．【点评】本题考查空间两直线的位置关系的判断，异面直线的定义，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．（多选）10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（）A．sin（B+C）＝sinA B．cos（B+C）＝cosA C．若a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形 D．若a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形【分析】在三角形中，由角之间的关系，判断出A，B的真假，由余弦定理可得C角的大小，判断C，D的真假．解：在三角形在B+C＝π﹣A，所以A中，sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA，所以A正确；B中，cos（B+C）＝cos（π﹣A）＝﹣cosA，所以B不正确；C中，若a2+b2＝c2，由余弦定理可得cosC＝＝0，可得C角为直角，所以三角形为直角三角形，所以C正确；D中，由余弦定理可得cosC＝＜0，所以C角为钝角，所以该三角形为钝角三角形，所以D正确．故选：ACD．【点评】本题考查余弦定理的应用，属于基础题．（多选）11．下列说法正确的是（）A．向量在向量上的投影向量可表示为 B．若，则与的夹角θ的范围是 C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° D．若，则【分析】根据投影向量的定义即可判断A；根据数量积的计算公式即可判断B；根据向量夹角的定义即可判断C，根据数量积的计算公式即可判断D．解：对于选项A，根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为，故A正确；对于选项B，因为，所以cosθ＜0，又0≤θ≤π，所以，故B正确；对于选项C，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故C错误；对于选项D，因为，所以或或，故D错误．故选：AB．【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．（多选）12．点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）A．若，则点O为△ABC的重心 B．若，则点O为△ABC的垂心 C．若，则点O为△ABC的外心 D．若，则点O为△ABC的内心【分析】对于A：设边BC，AC，AB的中点分别为D，E，F，利用向量的线性运算可得O为O是△ABC的重心，即可判断A是否正确；对于B：若2＝2＝2，则||2＝||2＝||2，可得点O为△ABC的外心，即可判断B是否正确；对于C：设边AB，BC，CA中点分别为点D，E，F，利用向量的数量积和向量的线性运算，可得点O为△ABC的外心，即可判断C是否正确；对于D：由向量的减法和数量积，可得点O是△ABC的垂心，即可判断D是否正确．解：对于A：设边BC，AC，AB的中点分别为D，E，F，所以+＝2，则+2＝，所以＝﹣2，所以A，O，D三点共线，即点O在中线AD上，同理可得点O在中线BE，CF上，所以点O是△ABC的重心，故A正确；对于B：若2＝2＝2，则||2＝||2＝||2，所以||＝||＝||，所以点O为△ABC的外心，故B错误；对于C：设边AB，BC，CA中点分别为点D，E，F，则（+）•＝0，所以2•＝0，所以OD为线段AB的垂直平分线，同理可得OE，OF分别为线段BC，C的垂直平分线，所以O为三角形三条边垂直平分线的交点，所以点O为△ABC的外心，故C正确；对于D：由已知可得•﹣•＝•（﹣）＝•＝0，即OB⊥CA，所以点O在边AC边上的高上，同理可得点O在边AB边上的高上，点O在边BC边上的高上，所以点O是△ABC的垂心，故D错误，故选：AC．【点评】本题考查平面向量及其应用，解题中需要理清思路，属于中档题．三、填空题（每小题5分，共20分）13．如图是用斜二测画法画出△AOB的直观图，则△AOB的面积为16．【分析】利用斜二测画法的原则，分别求出三角形AOB的底边和高，然后求出三角形AOB的面积即可．解：由图象中可知O'B'＝4，则对应三角形AOB中，OB＝4．又和y'平行的线段的长度为4，则对应三角形AOB的高为8．所以△AOB的面积为．故答案为：16．【点评】本题主要考查斜二测与平面图象之间的关系，要求掌握斜二测画法的原则，和x'轴平行的线段长度不变，和y'平行的线段长度减半．根据这个原则可求三角形的底边和高．14．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝．【分析】先求半径为r的实心铁球的体积，再求出升高的水的体积，由体积相等列式求解．解：半径为r的实心铁球的体积是，由题意可知，升高的水的体积是：πR2r，则，∴，则＝．故答案为：．【点评】本题考查球的以及圆柱的体积，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题．15．已知向量＝（1，3），＝（3，4），若（﹣λ）⊥，则λ＝．【分析】利用向量的坐标运算求得﹣λ＝（1﹣3λ，3﹣4λ），再由（﹣λ）⊥，可得（﹣λ）•＝0，即可求解λ的值．解：因为向量＝（1，3），＝（3，4），则﹣λ＝（1﹣3λ，3﹣4λ），又（﹣λ）⊥，所以（﹣λ）•＝3（1﹣3λ）+4（3﹣4λ）＝15﹣25λ＝0，解得λ＝．故答案为：．【点评】本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．16．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B，则下列三个不等式中成立的是①②③．①sinA＞sinB；②cosA＜cosB；③sinA+sinB＞cosA+cosB．【分析】利用大角对大边以及正弦定理即可判断选项①，利用预先函数的单调性即可判断选项②，由正弦函数的单调性以及诱导公式即可判断选项③．解：对于①，因为A＞B，则a＞b，由正弦定理可得，sinA＞sinB，故选项①正确；对于②，因为△ABC为锐角三角形，所以A，B均为锐角，又余弦函数y＝cosx在上为单调递减函数，所以cosA＜cosB，故选项②正确；对于③，在锐角△ABC中，因为，所以，故sinA＞sin（），即sinA＞cosB，同理可证sinB＞cosA，所以sinA+sinB＞cosA+cosB，故选项③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了正弦定理的应用，正弦函数与余弦函数单调性的运用，诱导公式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．四、（解答题，共计70分）17．计算：（1）；（2）；（3）；（4）已知向量，，计算，；（5）已知向量，满足，，计算．【分析】（1）（2）（3）结合复数的四则运算，即可求解；（4）（5）结合平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积公式，即可求解．解：（1）＝3+i；（2）＝＝4﹣i；（3）＝；（4），，则＝（4，7），；（5）向量，满足，，则＝．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．18．已知，，是同一平面的三个向量，其中＝（1，）．（Ⅰ）若||＝4，且，求的坐标；（Ⅱ）若||＝1，且（）⊥（），求与的夹角θ．【分析】（Ⅰ）根据即可得出，而由即可求出λ的值，从而得出的坐标；（Ⅱ）根据即可得出，进而得出cosθ的值，从而求出与的夹角θ．解：（Ⅰ）∵，；∴，且；∴，解得λ＝±2；∴或；（Ⅱ）∵；∴，即；∴；∴；∵θ∈[0，π]；∴．【点评】考查共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，根据向量的坐标可求向量的长度，以及向量垂直的充要条件，向量数量积的运算．19．（1）在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，求所形成的几何体的体积；（2）侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，求该三棱锥的表面积．【分析】（1）根据题意，分析旋转后所得的几何体为两个同底的圆锥，分析圆锥的底面半径和高，进而计算可得答案；（2）根据题意，分析棱锥的侧面积和底面积，进而计算可得答案．解：（1）根据题意，在Rt△ABC中，过点B作BO⊥AC，交AC与点O，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所得的几何体为两个同底的圆锥，如图：在Rt△ABC中，由于AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，则AC＝5，则BO＝＝，其两个圆锥的底面半径为BO＝，高分别为CO和AO，则其体积V＝πOB2×AO+πOB2×CO＝πOB2×AC＝；（2）根据题意，侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，当底面边长为a时，其侧棱长为a，则每个侧面三角形的面积S1＝×a×a＝，底面三角形的面积S2＝×a×a×＝，故该三棱锥的表面积S＝3S1+S2＝a2．【点评】本题考查旋转体的体积计算，涉及三棱锥的表面积，属于基础题．20．如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝．（1）用表示向量；（2）若点F在AC上，且，求AF：CF．【分析】（1）利用向量线性运算法则求解；（2）设＝λ（0＜λ＜1），由向量线性运算用表示出，再与已知比较求得λ后即可得．解：（1）因为＝﹣＝，点D是AC的中点，所以＝＝（），因为点E是BD的中点，所以＝（+）＝+＝﹣+（）＝；（2）设＝λ（0＜λ＜1），所以＝+＝+λ＝，又＝，所以λ＝，所以＝，所以AF：CF＝4：1．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b＝5，c＝，且cosA+a＝b．（1）求C的大小；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）利用余弦定理把cosA表示成边的关系，然后解方程组即可求出a，b，c，再利用余弦定理可求cosC的值，结合C的范围即可求解C的值．（2）直接利用三角形面积公式计算即可．解：（1）由余弦定理得+a＝b，即a2+b2﹣c2+a2b＝2ab2，即（a+b）2﹣2ab﹣c2+ab（a﹣2b）＝0，即18﹣ab（2+2b﹣a）＝0，将a＝5﹣