小学奥数中国剩余定理及余数性质拓展精选例题练习习题(含知识点拨)

5-5-4.中国剩余定理

及余数性质拓展教学目标.系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理.掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用且M巨知识点拨一、中国剩余定理一一中国古代趣题(1)趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题： 今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ ”答曰：七十三。”此类问题我们可以称为物不知其数”类型，又被称为韩信点兵韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每 3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每 5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积)，然后再加3,得9948(人)。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。(2)趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答 物不知其数”问题(即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？)时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知. ”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为 ‘中国剩余定理”(ChineseRemainderTheorem),是我国古代数学的一项辉煌成果.诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以 3所得的余数用70乘.五树梅花廿一枝，是说除以 5所得的余数用21乘.七子团圆正月半，是说除以 7所得的余数用15乘.除百零五便得知，是说把上面乘得的 3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数.此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大，则继续减去105,最后所得的整数就是所求.也就是2M70+3父21+2父15=233,233—105=128,128—105=23为什么70,21,15,105有此神奇效用？70,21,15,105是从何而来？先看70,21,15,105的性质：70被3除余1,被5,7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1,被3与7整除的数，因此21b是被5除余b,被3与7整除的数；同理15c是被7除余c,被3、5整除的数，105是3,5,7的最小公倍数.也就是说，70a+21b+15c是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数.了解了剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答.二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以 3,5,7后，得到三个余数分别为 2,3,2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以 3余1,并且还是5和7的公倍数。先由5x7=35,即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2,不符合要求，那么就继续看 5和7的下一个"倍数35x2=70是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以 5余1,同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：2M70+3M21+2M45士k[3,5,7]=233—k[3,5,7],其中k是自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件 满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算2m70+3m21+2m45—2父[3,5,7]=23得到所求如果加上限制条件 满足上面条件最小的三位自然数 ”，我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。目蚱例题精讲模块一、余数性质综合【例1】一个数除以3的余数是2,除以5的余数是1,则这个数除以15的余数是【例2】有一群猴子正要分56个桃子.每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时.又窜来 4只猴子。只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子.则最后每只猴子分到桃子一个。【巩固】一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到个桃子。【例3】一个小于200的数，它除以11余8,除以13余10,这个数是几?【巩固】不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学 ？【例4】5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人,问上体育课的同学最少 人。【巩固】有一个自然数，除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,则这个数最小【巩固】n除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以16余15。n最小为【巩固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1人拿3个动物小玩具，则最后余下2个动物小玩具；若1人拿4个动物小玩具，则最后余下3个动物小玩具；若1人拿5个动物小玩具，则最后余下4动物小玩具。那么这次活动中小朋友至少拿了个动物小玩具。【巩固】小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人。那么一起做游戏的小朋友至少有人。【例5】一个自然数被7,8,9除的余数分别是1,2,3,并且三个商数的和是570,求这个自然数.【例6】数119很奇特：当被2除时，余数为1;当被3除时，余数为2;【例6】数119很奇特：当被2除时，余数为除时，余数为4;当被6除时，余数为5.问：具有这种性质的三位数还有几个?【巩固】有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆,最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本.那么这批图书共有 本.【例7】某个自然数除以2余1,除以3余2,除以4余1,除以5也余1,则这个数最小是【例8】一个大于10的自然数，除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少?【巩固】一个大于10的数，除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少?【例9】a是一个三位数.它的百位数字是4,a+9能被7整除，a-7能被9整除，问a是多少?【例10】一个八位数，它被3除余1,被4除余2,被11恰好整除，已知这个八位数的前 6位是257633,那么它的后两位数字是。模块二、中国剩余定理【例11】民间流传着一则故事——韩信点兵秦朝末年，楚汉相争.一次，韩信将 1500名将士与楚王大将李锋交战.苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人.忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌.他命令士兵 3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名.韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人. ”根据故事中的条件，你能算出韩信有多少将士么？【例12】一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数【例13]一个自然数在1000和1200之间，且被【例13]一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合条件的数.【例14]一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5,求符合条件的最小的数.【例15【例15]有连续的三个自然数a、a+1、a+2,它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？模块三、余数性质的拓展应用新中国剩余定理模块三、余数性质的拓展应用新中国剩余定理【例16】有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?【例17］如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？【例18】三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被 9除余4,那么符合条件的三位数中最小的数最大是。【例19】某小学的六年级有一百多名学生.若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人.该年级的人数是.【例20】智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结