画法几何4概论课件

画法几何第四讲第四章平面§4.1平面的投影

§4.2

平面上的点和直线§4.3平面对投影面的相对位置

§4.4

-4.6

直线与平面

§

4.7点、直线、平面的图解方法4.1平面的投影性质1.平面图形的投影，由平面图形的迹线的投影表示。XOa'b'c'abc2.一般情况下，平面图形的投影仍是一个类似的图形，但形状、大小可能变化，不能反映实形。3.平面垂直于某投影面时，在该投影面上的投影积聚成一直线。4.平面图形平行于某投影面时，在这个投影面上的投影反映平面图形的真实形状、大小和方向等。PpQqDCBAdcbaH1.不共线的三点4.1.2几何平面确定的平面形状和大小任意的平面，它的空间位置，也可由下列任何一组几何元素来确定：ＸＯa′ab′bcc′2.一直线及直线外一点ＸＯa′ab′bcc′３.相交两直线ＸＯa′ab′bcc′4.平行两直线ＸＯa′ab′bcc′5.平面图形ＸＯa′ab′bcc′VXZY4.1.3迹线表示法迹线：平面与投影面的交线。PPVPHPWPXPYPZ规定：V、H、W各面迹线分别用PV、PH、PW

表示。

XZYY1OPVPZPXPHPYHPY1PWO4.2平面上的点和直线

一点位于平面内一直线上，则该点位于平面上。b´c´bcm´n´mna´a

点在面上点在线上＋线在面上“降维”判定2平面上取点如点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线作平面上的点的投影方法1、先在已知平面内作一条辅助直线2、再在此辅助直线上定点ＯYW

c′

aＸYＨＺ

c

b

a′

b′

a〞

b〞

c〞

m

m〞

m′

例：已知点Ｍ在平面三角形ＡＢＣ上，作出Ｍ点的三面投影d´dd˝已知点在面内，补全点的投影用辅助线“降维”，转化为点在线上的问题4.2.2平面上直线经过属于该平面的一已知点且平行于属于该平面的一已知直线经过属于该平

面的已知两点4.2.3平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线，除了符合平面上直线的上述条件外，尚应符合投影面平行线的投影性质。直线GF除了位于三角形ABC上外，又因为g'f'平行与ox轴，故GF为H面平行线。

a′

c′

b′

a

c

f′

g′

g

f

b

a′

c′

b′

ab

c

f′

例：已知△ＡＢＣ平面，并知该面上一点F的V面投影f′，求f

g′

g

f类似于利用定比性在线上定点的思路VHXOXO迹线表示平面PVPH用迹线表示平面●平面迹线的作图：

迹线平面上的直线的迹点，在平面的同名直线上。PVPHa’b’c’abcABC11’22’a’b’abcc’33’44’ⅠⅣⅢⅡ§4-3各种位置平面的投影二、投影面垂直面三、投影面平行面一、一般位置平面的投影特性平面与投影面的相对位置§4.3.平面与投影面的相对位置一、一般位置平面●投影特征：三个投影面的投影均为类似形●平面的倾角：平面与投影面的夹角两面角：作一平面与已知两平面都垂直相交，这两条交线的夹角即为两已知平面的夹角。平面对H面倾角：α；对V面倾角：β；对W面倾角：γ。●平面上的对投影面的最大斜度线：

平面对某一投影面的倾角，可由该平面上垂直于任一条同名的投影面平行线的一条最大斜度的倾角表示。H两直线垂直——直角投影已知:直线AB⊥

BC,直线AB∥H面投影特性：若两条直线相互（相交或交叉）垂直，且其中有一条直线平行于某个投影面，则两直线在该投影面上的投影互相垂直。cba分析:由于AB垂直于BC且平行于H，所以AB垂直于平面BCcb，故ab垂直于BCcB，ab⊥bc。垂直两直线ABCabcabcHα’aα最大倾斜线的特征最大斜度线的特征●作图原理：

过平面P上任意一点A；作直线AB∥PH，作点A在H面的投影a；在平面上过A作AC⊥AB，与PH交于C点；连接Ca，在PH上，任取一点D，连接Da；设∠ACa=α,∠ADa=α’，则：

α>α’；即：AC为P

平面上对H面的最大倾斜线●证明：

∵Aa⊥PH;AC⊥PH

∴PH⊥△ACa∴△ACa⊥P

且△ACa⊥H∴α为P、H面的夹角又：AC⊥PH,∴AD>AC∵△ACa、△ADa均为直角三角形∴∠ACa>∠ADa；即α>α’∴AC为P对H面的最大倾斜线；且

α为AC对H面的倾角。

PPHBCcDdA●结论：

平面上与投影面平行线垂直的直线为最大倾斜线；其对投影面的倾角为平面对投影面的倾角abcOXa’b’c’Δzα作平面对投影面的倾角作平面对投影面的倾角●作图步骤：

在平面上作投影面的平行线；作该平行线的垂直线（最大倾斜线）作该最大倾斜线对投影面的倾角

[例]已知平面ABC；分别作该平面对

H、V面的倾角α、β[作图]

过a’作水平线a’1’与b’c’交于1’；

过b作a1的垂线bd,与a1交于d，

则BD为平面对H面的最大倾斜线。

根据BD的两面投影作BD对H面的倾角α，即为平面对H面的倾角。

过a作正平线a2与bc交于2；过b’作a’1’的垂线b’e’,与a’1’交于e’,

则BE为平面对V面的最大倾斜线。de2d’e’11’作BE对V面的倾角β，即为平面对

V面的倾角。Δz2’ΔyβΔy例：已知正方形ABCD平面的前下方一边水平线AB的投影，且平面的倾角α＝30°，完成此正方形的投影。a´b´abl30°=abcd△ZL为对H面的最大斜度线，故L对H面的倾角等于30°d´c´△Z二、投影面垂直面H面垂直面投影特性：(1)水平投影积聚为一条直线；(2)正面投影和侧面投影为原形的类似形；(3)水平投影与OX、OY的夹角反映β、角的真实大小；V面垂直面投影特性：(1)正面投影积聚为一条线；

(2)水平投影和侧面投影为类似形；(3)正面投影与OX、OZ的夹角反映α、角的真实大小；W面垂直面投影特性：(1)侧面投影积聚为一条线；

(2)水平投影和正面投影为类似形；(3)侧面投影与OY、OZ的夹角反映α、β角的真实大小；例：正方形ABCD为H面垂直面，已知其对角线AC的两面投影，求该正方形的两面投影和倾角。a´c´acb´d´b(d)分析：1、由投影可知AC为水平线2、因BD和AC垂直，且正方形垂直于H面，故BD为铅垂线3、b´d´=BD=AC=acβγ思考：对角线AC和BD对投影面的相对位置关系？三、投影面平行面H面平行面投影特性：(1)水平投影反映平面实形；

(2)正面投影、侧面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的OX、OY1

投影轴；V面平行面投影特性：(1)正面投影反映实形；

(2)水平投影、侧面投影积聚为一条直线，分别平行于相应的OX、OZ投影轴；yyW面平行面投影特性：(1)侧面投影反映平面实形；

(2)水平投影、正面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的OY、OZ投影轴；OXaba’b’平行面作图平行面作图

[例]已知水平的正三角形

ABC的一边AB的两面投影，补全ABC的两面投影。

[分析]由于ABC为水平面，所以ABC的水平投影反映真形。由AB的投影

ab，可得到ABC的边长等于ab的长度。而ABC

为正三角形，故ac、bc

于ab等长。又：顶点C的位置可在

AB的前后，因此本题有

2解，分别为c、c1，如图所示。cc’c1c1’直线与平面

平面与平面的相对位置§4-5 相交问题§4-6垂直问题§4-7综合问题解题示例§4-4平行问题4-4平行问题一、直线和平面平行二、平面与平面平行P一、直线和平面平行几何条件如果平面P外的一条直线AB与平面内的一条直线平行,那么这条直线AB和这个平面P平行。AB反之，如果直线AB与平面P平行，那么在平面内一定有一条直线与该直线AB平行。L∵L∈P；

L

∥AB；∴AB

∥P。例1已知线12，作平面与直线AB（ab，a’b’）平行。只要含点Ⅰ作直线与AB平行

，则含此直线所作的任意平面均符合题意。1.作1'

3'∥a'b'；

13∥ab；3'322’XOa'b'ab1’1作图：则平面ⅠⅡⅢ平行于直线AB。分析：例试判断已知直线AB是否平行于平面CDE答案：不平行当平面为特殊位置平面时，直线与平面的平行关系，可直接在平面有积聚性的投影中反映。p′pb′a′abAB//平面P二、平面与平面平行几何条件：如果一平面内的两相交直线与另一平面内的两相交直线分别对应平行，则两平面平行。PRL1L2L3L4∵

L1

∥L2

；

L3∥

L4

；∴

R

∥

P。二、平面与平面平行举例含点A1作平面平行于平面（A2

B2

C2

）。b‘1c‘1XOa'2b'2c'2a2b2c2a‘1a1c1b1只要含点A1作相交直线分别与A2B2

和A2C2

平行即可。1.作a‘1b‘1

∥a'2b'2

；

a1b1∥a2b2；作图：则平面(A1B1C1)与平面（A2B2C2）平行。分析：2.作a‘1c‘1∥a'2c'2

；

a1c1

∥a2c2

；二、平面与平面平行特殊位置平面的平行两投影面垂直面平行，在它们所垂直的投影面上，它们的积聚性投影相互平行。pQXqq’p’pP∥Qp∥q0§4-5垂直问题一、直线和平面垂直二、平面与平面垂直一、直线和平面垂直如果一条直线和一平面内的两条相交直线垂直，则直线与该平面垂直。ABDCL直线和平面垂直的条件定理：直线与平面垂直，则该

直线必垂直于平面上的任

何直线。

LK⊥平面P则：LK⊥水平线AB

LK⊥正平线CD一、直线和平面垂直定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。a’cac’n’nkf’d’b’dbfk’定理2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线（逆）的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。例1含点E作直线垂直△ABC。22'1'1cb'aa'xc'obe'ek'f'f解题过程：1.在平面

内取正平线CⅡ(c2∥OX);2.在平面内取水平线AⅠ

(a

’1’∥OX

);3.过e作ef⊥a