高中数学人教A版余弦定理的推导

高一年级数学余弦定理的推导知识回顾CBA三角形中的元素三角形中的元素表示三角形中的元素表示在△ABC中三角形中的元素表示在△ABC中三个角A，B，C三条对边a，b，c

三角形中的元素表示在△ABC中CBAabc三个角A，B，C三条对边a，b，c三角形中的元素表示关系三角形中的元素表示关系边的关系三角形中的元素表示关系两边之和大于第三边；两边之差小于第三边.边的关系不等关系三角形中的元素表示关系

在Rt△ACB中

baACBc边的关系不等关系勾股定理三角形中的元素表示关系边的关系不等关系角的关系勾股定理三角形中的元素表示关系边的关系不等关系角的关系内角和勾股定理三角形中的元素表示关系边的关系不等关系角的关系边角关系内角和勾股定理三角形中的元素表示边的关系关系不等关系角的关系边角关系内角和对应关系大边对大角，大角对大边.勾股定理三角形中的元素表示边的关系关系不等关系角的关系边角关系内角和对应关系勾股定理锐角三角函数

baACBc三角形中的元素表示边的关系关系不等关系角的关系边角关系内角和对应关系勾股定理锐角三角函数三角形之间的关系全等相似三角形之间的关系三角形之间的关系全等相似两角分别相等判定三边成比例两边成比例且夹角相等两角分别相等三角形之间的关系判定全等相似三边成比例两边成比例且夹角相等SASSSSASAAAS判定三角形之间的关系两角分别相等判定全等相似三边成比例两边成比例且夹角相等SASSSSASAAAS判定相似比等于1三角形之间的关系两角分别相等判定全等相似三边成比例两边成比例且夹角相等SASSSSASAAAS判定相似比等于1三角形之间的关系两角分别相等判定全等相似三边成比例两边成比例且夹角相等SASSSSASAAAS判定SAS

思考：

SAS定性两个三角形全等

思考：

SAS定性两个三角形全等三角形唯一确定

思考：

SAS定性两个三角形全等三角形唯一确定其他元素确定

思考：

SAS定性两个三角形全等三角形唯一确定其他元素确定

思考：

SAS定性两个三角形全等三角形唯一确定其他元素确定？

思考：

定量？SAS定性两个三角形全等三角形唯一确定其他元素确定

思考：

探究思考

探究：

在△ABC中，三个角A，B，C

所对的边分别是a，b，c，

怎样用a，b和C表示c？

CBAabc？？表示c在△ABC中，已知a，b，C

思路1：

表示c一般三角形在△ABC中，已知a，b，C？

思路1：

表示c一般三角形直角三角形？在△ABC中，已知a，b，C

思路1：

表示c一般三角形直角三角形转化在△ABC中，已知a，b，C？

思路1：

表示c一般三角形直角三角形表示边长转化在△ABC中，已知a，b，C？

思路1：

表示c一般三角形直角三角形转化在△ABC中，已知a，b，C？表示边长作高

思路1：

在△ABC中，已知a，b，C表示c一般三角形直角三角形勾股定理作高转化？表示边长

思路1：

一般三角形直角三角形表示边长勾股定理作高

思路1：

一般三角形直角三角形CBAabcDFE表示边长勾股定理作高

思路1：

一般三角形直角三角形CBAabcDFE表示边长勾股定理作高

思路1：

一般三角形直角三角形CBAabcD表示边长勾股定理作高

思路1：

勾股定理

一般三角形直角三角形CBAabcD表示边长作高

思路1：

baACBc一般三角形直角三角形CBAabcD表示边长勾股定理作高

思路1：

一般三角形直角三角形表示边长

baACBc

CBAabcD勾股定理作高

思路1：

一般三角形直角三角形

bAacCB

baACBc

CBAabcD表示边长勾股定理作高

思路1：

一般三角形直角三角形作高

baACBc

CBAabcD

bAacCBD表示边长勾股定理

思路1：

解法1：

(1)当C为锐角时，

CBAbca？

解法1：

(1)当C为锐角时，

CBAbcDa？

解法1：

(1)当C为锐角时，

CBAbcDa？

解法1：

(1)当C为锐角时，

CBAbcDa？

解法1：

(1)当C为锐角时，

在Rt△ADC中，

bsinCCBAbcDa？

解法1：

(1)当C为锐角时，

在Rt△ADC中，

bcosCbsinCCBAbcDa？

解法1：

(1)当C为锐角时，

在Rt△ADC中，

所以bcosCbsinCCBAbcDa？

解法1：

(1)当C为锐角时，

在Rt△ADC中，

所以bcosCbsinCCBAbcDa？

解法1：

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

所以CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

所以CBAbcDa？

解法1：

(2)当C为直角时，

baACBc？

解法1：

(2)当C为直角时，

由勾股定理，得

baACBc？问题：此时是否成立？

问题：此时是否成立？

依据：

问题：此时是否成立？

依据：当C为直角时，可得

问题：此时是否成立？

依据：当C为直角时，可得

因此

问题：此时是否成立？

依据：当C为直角时，可得

因此

所以

问题：此时是否成立？

依据：当C为直角时，可得

因此

所以

问题：此时是否成立？

依据：当C为直角时，可得

因此

所以

问题：此时是否成立？

依据：当C为直角时，可得

因此

所以

勾股定理问题：此时是否成立？

依据：当C为直角时，可得

因此

所以

答案：成立.勾股定理

解法1：

(3)当C为钝角时，

AacCBb？

解法1：

(3)当C为钝角时，

作延长线于点D.

DAacCBb？

解法1：

(3)当C为钝角时，

作延长线于点D.

DAacCb？B

解法1：

(3)当C为钝角时，

作延长线于点D.

DAacCb？B

解法1：

(3)当C为钝角时，

作延长线于点D.

DAacCb？B

解法1：

(3)当C为钝角时，

作延长线于点D.

在Rt△ADC中，

DAacCb？B

解法1：

(3)当C为钝角时，

作延长线于点D.

在Rt△ADC中，

DAacCb？B

解法1：

(3)当C为钝角时，

作延长线于点D.

在Rt△ADC中，

DAacCb？B

解法1：

(3)当C为钝角时，

作延长线于点D.

在Rt△ADC中，

DAacCb？B

解法1：

(3)当C为钝角时，

作延长线于点D.

在Rt△ADC中，

所以DAacCb？B

解法1：

(3)当C为钝角时，

作延长线于点D.

在Rt△ADC中，

所以DAacCb？B

解法1：

在Rt△ADB中，

DAacCb？B

解法1：

在Rt△ADB中，

所以DAacCb？B

解法1：

在Rt△ADB中，

所以DAacCb？B

小结：

CBAabcD

小结：

baCBcCBAabcDA

小结：

baCBcCBAabcDA

小结：

baACBcCBAabcDbAacCBD

小结：

baCBcCBAabcDbAacCBDA

小结：

表示c在△ABC中，已知a，b，C

小结：

在△ABC中，已知a，b，C表示c勾股定理

小结：

表示c作高勾股定理在△ABC中，已知a，b，C

小结：

表示c分类讨论作高勾股定理在△ABC中，已知a，b，C

小结：

表示c分类讨论作高勾股定理在△ABC中，已知a，b，C

小结：

？表示c在△ABC中，已知a，b，C

思路2：

两点之间的距离表示c在△ABC中，已知a，b，C

思路2：

表示c表示点的坐标两点之间的距离在△ABC中，已知a，b，C

思路2：

距离公式：表示c表示点的坐标两点之间的距离在△ABC中，已知a，b，C

思路2：

建立平面直角坐标系距离公式：表示c表示点的坐标两点之间的距离在△ABC中，已知a，b，C

思路2：

CBAabc？

解法2：

yxCBAabc？

解法2：

解法2：

以点C为坐标原点，有向线段

CB的方向为x轴正方向

建立平面直角坐标系，

yxCBAabc？yxCBAabc？

解法2：

以点C为坐标原点，有向线段

CB的方向为x轴正方向

建立平面直角坐标系，

可得DyxCBAabc？

解法2：

以点C为坐标原点，有向线段

CB的方向为x轴正方向

建立平面直角坐标系，

可得bsinCbcosCDyxCBabc？A(bcosC

bsinC)

解法2：

以点C为坐标原点，有向线段

CB的方向为x轴正方向

建立平面直角坐标系，

可得bsinCbcosCDyxCBAabc？A(bcosC

bsinC).(bcosC

bsinC)

解法2：

以点C为坐标原点，有向线段

CB的方向为x轴正方向

建立平面直角坐标系，

可得

解法2：

因此

解法2：

因此

解法2：

因此

解法2：

因此

解法2：

因此

解法2：

将式两边同时平方，得

解法2：

将式两边同时平方，得

解法2：

将式两边同时平方，得

即

解法2：

将式两边同时平方，得

即

问题：

解法2是否需要根据角C的大小进行分类讨论？

问题：

CBAabcyxA(bcosC

bsinC)

B(a0)

问题：

yxbaACBcCBAabcyxA(bcosC

bsinC)

B(a0)

问题：

CBAabcyxyxbaACBcA(0

b)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)

问题：

CBAabcyxyxbaACBcA(0

b)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)

问题：

CBAabcyxyxbAacCByxbaACBcA(0

b)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)

问题：

CBAabcyxyxbAacCByxbaACBcA(0

b)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)

问题：

解法2是否需要根据角C的大小进行分类讨论？

依据：任意角的三角函数.

问题：

解法2是否需要根据角C的大小进行分类讨论？

依据：任意角的三角函数.

答：不需要.

在△ABC中，已知a，b，C表示c

小结：

在△ABC中，已知a，b，C两点间距离公式表示c

小结：

在△ABC中，已知a，b，C端点的坐标两点间距离公式表示c

小结：

在△ABC中，已知a，b，C建立平面直角坐标系端点的坐标两点间距离公式表示c

小结：

在△ABC中，已知a，b，C建立平面直角坐标系端点的坐标两点间距离公式表示c

小结：

？在△ABC中，已知a，b，C表示c

思路3：

在△ABC中，已知a，b，C表示c向量

思路3：

CBAabc在△ABC中，已知a，b，C表示c向量

思路3：

向量的三角形法则在△ABC中，已知a，b，C表示c向量CBAabc

思路3：

向量的三角形法则在△ABC中，已知a，b，C表示c向量CBAacb

思路3：

向量的三角形法则在△ABC中，已知a，b，C表示c向量向量的数量积性质CBAacb

思路3：

向量的三角形法则在△ABC中，已知a，b，C表示c向量向量的数量积性质CBAacb

思路3：

向量的数量积性质向量的三角形法则在△ABC中，已知a，b，C表示c向量CBAacb

思路3：

解法3：

如图，设

CBAabc

解法3：

如图，设

根据向量的三角形法则可知：

CBAabc

解法3：

如图，设

根据向量的三角形法则可知：

CBAabc

解法3：

如图，设

根据向量的三角形法则可知：

CBAabc

解法3：

由得：

CBAabc

解法3：

由得：

CBAabc

解法3：

由得：

CBAabc

解法3：

由得：

CBAabc

解法3：

因为

CBAabc

解法3：

因为

所以

CBAabc

解法3：

因为

所以

即CBAabc

解法3：

因为

所以

即CBAabc

问题：

解法3是否需要根据角C的大小进行分类讨论？

问题：

CBAabc

问题：

CBAabcbAacCBbaACBc

问题：

CBAacbbAacCBbaACBc

问题：

解法3是否需要根据角C的大小进行分类讨论？

依据：向量的三角形法则.

问题：

解法3是否需要根据角C的大小进行分类讨论？

依据：向量的三角形法则.

答：不需要.

在△ABC中，已知a，b，C表示c

小结：

向量的数量积性质在△ABC中，已知a，b，C表示c

小结：

表示关系向量的数量积性质在△ABC中，已知a，b，C表示c

小结：

构造向量表示关系向量的数量积性质在△ABC中，已知a，b，C表示c

小结：

构造向量表示关系向量的数量积性质在△ABC中，已知a，b，C表示c

小结：

总结：

表示c在△ABC中，已知a，b，C表示c勾股定理在△ABC中，已知a，b，C总结：

表示c勾股定理易联想在△ABC中，已知a，b，C总结：

表示c勾股定理分类多易联想在△ABC中，已知a，b，C总结：

表示c勾股定理两点间距离公式分类多易联想在△ABC中，已知a，b，C总结：

表示c勾股定理两点间距离公式运算较少分类多易联想在△ABC中，已知a，b，C总结：

表示c勾股定理两点间距离公式运算较少分类多易联想需建系在△ABC中，已知a，b，C总结：

表示c勾股定理两点间距离公式向量的数量积性质需建系运算较少分类多易联想在△ABC中，已知a，b，C总结：

表示c勾股定理两点间距离公式向量的数量积性质需建系运算较少分类多易联想运算少在△ABC中，已知a，b，C总结：

表示c勾股定理两点间距离公式向量的数量积性质新知应用需建系运算较少分类多易联想运算少在△ABC中，已知a，b，C总结：

表示c勾股定理两点间距离公式向量的数量积性质在△ABC中，已知a，b，C总结：

余弦定理：

余弦定理：

余弦定理：

余弦定理是勾股定理的推广，余弦定理：

余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.余弦定理：

余弦定理：

余弦定理：

余弦定理：

余弦定理：

余弦定理：

余弦定理：

同理可得:

余弦定理：