经济数学基础讲义课件

经济数学基础教学媒体介绍主教材：《应用数学基础》

辅教材：《经济数学基础典型题解析》《经济数学基础上机实验指导书》

光盘：《经济数学基础典型题解析》

网上课堂：《经济数学基础》

网络课程：《经济数学基础》/index/index_new.aspx

第一章函数

由于经济数学基础这门课程主要是在实数范围内研究微积分、线性代数等问题,因此,本节课主要复习与实数有关的一些基础知识.

(1)实数按照以下方法分类，形成实数系表：1．实数1.1

实数中的基本概念及运算第0节预备知识有理数——能表示为两个整数相除形式的数（包括整数、分数（或表示成有限小数、无限循环小数））；无理数——无限不循环小数，即不能表示为两个整数相除形式的数．(2)基本概念

自然数——表示现实世界中“物体的个数”，自然数从

0开始，一般记为0，

1，2，…，n，…，其中n表示任意一个自然数．

在实际生活中仅有自然数是不够的．例如，某班学生中男生占全班人数的五分之二，经济数学基础某学期的平均及格率为百分之七十点二六等等。这些问题用自然数是不能准确描述的，应该分别用分数2/5和百分数70.26%(或小数0.7026)来表示．实数由有理数和无理数组成．

有时用正数也不能准确描述一件事情，例如，白天的最高气温为7°C,晚上气温下降了10°C，达到最低气温那么应该怎样描述晚上最低温度呢？用负数就可以将晚上最低温度记为-3°C．0是一个特殊的数.它既不是正数，也不是负数，而是一个正、负数的分界数，是一个中性的整数．正数——由正整数、正分数和正小数组成，记作负数——在正数前面添上“－”号的数，记作

正数和0通常叫做非负数，即当是非负数时，相反，0和负数通常叫做非正数，即当是非正数时，(3)实数的运算规则

在我们遇到的问题中，只用有理数来描述也是不够的。例如，一个两条等边长为1分米的等腰直角三角形，其第三条边的长度是分米。又如,圆的周长与直径之比是一个常数，叫做圆周率，用符号表示。这里的和是不能被表示成两个整数之比的，这些数被叫做无理数．无理数又分为正无理数和负无理数．I

加法、乘法运算规则加法交换律

a+b=b+a加法结合律

(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律

a

b=b

a乘法结合律

(ab)c=a

(b

c)分配律

a

(b+c)=a

b+a

cII

括号规则a+(b-c)=a+b–ca-(b-c)=a-b+ca+b-c=a+(b-c)a-b+c=a-(b-c)III

正负规则a

(-b)=-(b

a)

(-a)b=-(b

a)

(-a)(-b)=b

aIV

比例规则V

乘方规则正数的非

0次幂是正数；负数的非

0偶次幂是正数，奇次幂是负数；

0的正数次幂等于

0，非

0数的

0次幂等于

1．例如VI

开方规则负数的奇次方根是一个负数，在实数范围内，负数没有偶次方根．正数的奇次方根是一个正数．正数的偶次方根有两个互为相反的数；0的n（n为正整数）次方根是

0；如果，那么称为的平方根。正数才有平方根，其平方根是两个相反的数，其中称为的算术平方根或简称算术根。如果，那么称为的立方根。1.2

数轴与绝对值规定原点、正方向和长度单位的直线叫做数轴．数轴上的

O表示原点，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数．数轴上的点与全体实数是一一对应的．数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，记作：正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是

0．即例如绝对值有以下性质：任何实数都有唯一的绝对值，且绝对值非负，即

任何一个实数都不大于它的绝对值，且不小于它的绝对值的相反数，即

互为相反的一对数，其绝对值相等，即两个实数乘积的绝对值等于两个实数绝对值的乘积，即两个实数商的绝对值等于两个实数绝对值的商，即两个实数和的绝对值不大于两个实数绝对值之和，即两个实数差的绝对值不小于两个实数绝对值之差，即任何一个实数绝对值等于该实数平方后的算术平方根，即2

方程与不等式

用等号连接的两个式子叫做等式，含有未知量的等式叫做方程．如：能够使方程成为恒等式的未知量的值叫做方程的解．含有一个未知量的方程的解也叫做方程的根．（1）

一元一次方程方程的解（或根）为（2）

一元二次方程方程的求解方法：a.公式法b配方法：将方程变形为然后在等号的两边分别加上一次项系数一半的平方，得两边开平方并移项得：c因式分解法：将方程变形为再将方程写成两个一次项的乘积找到即得方程的根：如不等式——用大于号“>”、

大于等于号“

”、小于号“<”、

小于等于号“

”等不等号将两个代数式连结起来的式子．（1）

一元一次不等式（组）

含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的不等式称为一元一次不等式。

含有相同未知量的几个一元一次不等式所组成的不等式组称为一元一次不等式组。解法：移项得例1：解不等式组解：不等式组的解为：练习1：解不等式组（2）

一元二次不等式（组）设则例2：解不等式（其中）解：由以上结果可得例3：解不等式解：（3）

绝对值不等式（组）设，则有：例4：解下列不等式解：（1）由绝对值性质得（2）由绝对值性质得（3）由绝对值性质（两边取算术根）得（4）由绝对值性质（两边取算术根）得练习2：解下列不等式解答：3

区间与邻域介于两个实数之间的全体实数构成的集合称为有限区间。设集合集合集合集合上述有限区间的区间长度均为，且称为区间的左端点称为区间的右端点。以下5类集合都称为无限区间集合集合集合集合实数集邻域:4

平面直角坐标系平面上的点二元有序数组一一对应

12345

-4-3-2-1

x0-2-4-3y-11234斜率截距

12345

-4-3-2-1

x0-2-4-3y-11234

12345

-4-3-2-1

x0-2-4-3y-11234

12345

-4-3-2-1

x0-2-4-3y-11234第1节函数的概念

同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．常量——只取固定值的量

这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：考虑半径r可以变化的过程．面积S和半径r叫做变量．变量——可取不同值的量

我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表存期六个月一年二年三年五年年利率(%)2.072.252.703.243.60它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系．

这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系，类似的例子还有很多，比如教材上的例5、例7。例5：例7：如乘车2.5公里时，车费10元；当乘车里程为8公里时，车费为元

以上列举的问题，虽然来自不同的领域，且有不同的表示形式，有公式、图形、表格，但是它们的共同特性是：都反映了在同一过程中有着两个相互依赖的变量，当其中一个变量在某一数集内取值时，按照一定的规则，另一个变量有唯一确定的值与之对应，变量之间的这种数量关系就是函数关系。1

函数的定义定义：设和是变量，D是一个给定的非空数集，若对于每一个，按照某一确定的对应法则，变量总有唯一确定的数值与之对应，则称是的函数，记为：其中称为自变量，称为因变量，称为函数的定义域

定义域D是自变量的允许取值范围，也就是使得函数有意义的实数集。因此，若时，称函数在有定义，与对应的的数值称为函数在的函数值，记作或即当遍取D中的所有数值时，对应的函数值全体构成的数集称为函数的值域。若，则称该函数在点没有定义。2

函数的表示法（1）

列表法：优点是使用方便，实际工作中常用（2）

图像法：优点是形象直观，容易看到函数的变化过程和趋势。（3）

解析法：优点是便于进行理论分析和计算。3

函数的两要素：定义域和对应法则

定义域相同、对应法则也一样的函数，无论自变量因变量用什么字母表示，都表示同一个函数。如：是同一个函数但：不是相同的函数其定义域不同！（1）函数定义域的确定在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：a在分式中，分母不能为零；b在根式中，负数不能开偶次方根；

c在对数式中，真数必须大于零；

d如果函数表达式是由几个数学式子组合而成，则其定义域应取各部分定义域的交集。例１：求下列函数的定义域

（2）所以定义域为[-1,1)∪(1,+∞)解：所以定义域为(-∞,-1)∪(-1,4)∪(4,+∞)例2：求下列函数的定义域

解：定义域为定义域为定义域为定义域为例3：求下列函数的定义域

分段函数的定义域为各个分段区间的并集。该函数的定义域为练习3：求下列函数定义域（2）由对应规则求函数值和函数式

若函数在点有定义，则只要将代入函数