河南省信阳市息县第二高级中学2022年高三数学理期末试题含解析

河南省信阳市息县第二高级中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A． B． C．或 D．或7参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由实数4，m，9构成一个等比数列，得m=±=±6，由此能求出圆锥曲线的离心率．【解答】解：∵实数4，m，9构成一个等比数列，∴m=±=±6，当m=6时，圆锥曲线为，a=，c=，其离心率e=；当m=﹣6时，圆锥曲线为﹣，a=1，c=，其离心率e==．故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比中项公式的应用．2.已知双曲线x2+=1的焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解∵x2+=1表示双曲线，∴b2＜4，方程x2+=1可化为，取一个焦点坐标为（，0），渐近线方程为：y=±∵焦点到渐近线的距离为2，∴=2，解得=2∴双曲线的渐近线方程为y=±2x，故选：C3.设抛物线x2=2py（P＞0），M为直线y=﹣2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，A，B，M的横坐标分别为XA，XB，XM则（）A．XA+XB=2XM B．XA?XB=XC．+= D．以上都不对参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出A，B的坐标，对抛物线的方程进行求导，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程，联立求得2xM=xA+xB，即可得出结论．【解答】解：由x2=2py得y=，得y′=，所以直线MA的方程为y+2p=（x﹣xM），直线MB的方程为y+2p=（x﹣xM），所以，+2p=（xA﹣xM）①，+2p=（xB﹣xM）②由①、②得2xM=xA+xB．故选A．4.点关于直线对称的点坐标是（

）

B.

C.

D.参考答案：考点：两点关于一直线对称.5.已知集合，集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：B6.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：由于,所以输出,此时,因此应选B．考点：算法流程图的识读和理解．7.定义运算,函数

图象的顶点坐标是（），且成等比数列，则的值为

.参考答案：14略8.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是A.若d＜0，则数列{Sn}有最大项B.若数列{Sn}有最大项，则d＜0C.若数列{Sn}是递增数列，则对任意的nN*，均有Sn＞0D.若对任意的nN*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列参考答案：C特殊值验证排除．选项C显然是错的，举出反例：－1，0，1，2，…，满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn>0不恒成立选C.9.设集合,，那么“mA”是“mB”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：A

解析：由得,可知“”是“”的充分而不必要条件.【高考考点】本题主要考查分式不等式及四种命题【易错提醒】很容易混淆充分条件和必要条件的推导方向即那个为条件那个为结论.【备考提示】一定要劳记充分条件或者必要条件是由谁推谁?特别注意“A的充分不必要条件是（）”题型.10.下列命题中正确命题的个数是（）（1）是的充分必要条件；（2）若且，则；

（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（4）设随机变量服从正态分布N(0,1),若，则A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则的值为

参考答案：12.已知a，b为正常数，x，y为正实数，且，求x+y的最小值．参考答案：+【考点】基本不等式．【分析】求出+=1，利用乘“1”法，求出代数式的最小值即可．【解答】解：∵a，b为正常数，x，y为正实数，且，∴+=1，∴（x+y）（+）=++≥+2=+，当且仅当x2=y2时“=”成立，故答案为：+．13.若对任意的都成立，则的最小值为

．参考答案：略14.已知非空集合，则实数的取值范围是

.参考答案：略15.若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是

．参考答案：[4，8)略16.已知是递增的等比数列，若，，则此数列的公比

参考答案：217.已知2x＝3y＝6，则＝________.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设实数a，b满足2a+b=9．（1）若|9﹣b|+|a|＜3，求a的取值范围；（2）求|3a﹣b|+|a﹣2b|的最小值．参考答案：【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（1）由条件可得3|a|＜3，利用绝对值不等式的解法，求得a的范围．（2）要求的式子即|5a﹣9|+|5a﹣18|，再利用绝对值三角不等式求得它的最小值．【解答】解：实数a，b满足2a+b=9．（1）∵|9﹣b|+|a|=|2a|+|a|=3|a|＜3，∴|a|＜1，∴﹣1＜a＜1，故要求的a的取值范围为（﹣1，1）．（2）求|3a﹣b|+|a﹣2b|=|3a﹣（9﹣2a）|+|a﹣2（9﹣2a）|=|5a﹣9|+|5a﹣18|≥|（5a﹣9）﹣（5a﹣18）|=9，故|3a﹣b|+|a﹣2b|的最小值为9．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，属于基础题．19.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线（为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）过点且与直线l平行的直线交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积.参考答案：（1），；（2）1.【分析】（1）直接利用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的关系写出曲线C和直线l的方程即可；（2）将直线l的代数方程代入椭圆C的直角坐标方程，整理成一个关于t的方程，然后利用韦达定理找到的值，因为即可得到最后结果。【详解】（1）曲线化为普通方程为：,由，得，所以直线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程为（为参数），代入化简得：，设两点所对应的参数分别为，则，∴.

20.在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．1）求证AB⊥面VAD；2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（1）欲证AB⊥面VAD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与面VAD内两相交直线垂直，而VE⊥AB可由面VAD⊥底面ABCD得到，AB⊥AD，满足定理条件；（2）设VD的中点为F，连AF，AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，根据二面角平面角的定义可知∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角，在Rt△ABF中求出此角即可．【解答】证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．又面ABCD是正方形，则AB⊥AD，故AB⊥面VAD．（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．设正方形ABCD的边长为a，则在Rt△ABF中，AB=a，AF=a，tan∠AFB=故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为．21.（本题满分12分）已知关于的方程有实数解，（1）设，求的值。

（2）求的取值范围。参考答案：（1）设实数解为，由得∴，（2），，

∴。22.（13分）已知函数g（x）=f（x）+﹣bx，函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1、x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）由f′（x）=1+，利用导数的几何意义能求出实数a的值；（2））由已知得g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围；（3）由g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，x＞0，设μ（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）﹣g（x2）的最小值．解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+x2﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+x2﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∵x＞0，设μ（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，则μ（0）=[ln（x1+x12﹣（b﹣1）x1]﹣[lnx2+x22﹣（b﹣1）x2]=ln+（x12﹣x22）﹣（b﹣1）（x1﹣x2）=ln+（x12﹣x22）﹣（x1+x2）（x1﹣x2）=ln﹣（﹣），∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t