山西省运城市永济首阳中学高三数学理模拟试卷含解析

山西省运城市永济首阳中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，角，，所对的边分别为，，，若为锐角，，．则（

）． A． B． C． D．参考答案：A∵，，，∴，∴．故选．2.设变量满足则目标函数的最小值为（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C略3.若对任意，都有，则称集合A为“完美集合”．在集合的所有非空子集中任取—个集合，这个集合是“完美集合”的概率为

A．-

B．

C．

D．参考答案：C略4.已知函数f(x)为偶函数，当x∈[－1,1]时，f(x)=，且f(x+1)为奇函数，则f()=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C∵函数为偶函数，∴．又为奇函数，图象关于点对称，∴函数的图象关于点对称，∴，∴，∴，∴函数的周期4，∴．故选C．

5.在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为，在区间[1，]和[2，4]分别各取一个数，记为m和n，则方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B6.已知角A是△ABC的一个内角，且tan=，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．无法判断△ABC的形状参考答案：C【分析】利用倍角公式得到tanA===﹣4＜0．由此推知三角形ABC的形状．【解答】解：∵，∴tanA===﹣4＜0．又角A是△ABC的一个内角，∴90°＜A＜180°，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．7.等差数列中有两项和满足（其中，且），则该数列前项之和是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：8.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为，则球的表面积为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B9.若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为.已知数列满足，则下列结论中错误的是A.若m=，则a5＝3

B若a3=2，则m可以取3个不同的值C.若，则数列是周期为的数列D.且，数列是周期数列参考答案：D10.

若满足且的最小值为-4，则的值为（

）

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，分别为角A，B，C的对边，若垂直且，当△ABC面积为时，则b等于（

）A．

B．4

C．

D．2参考答案：D12.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)=e-x+2xf'(-2)，其中e是自然对数的底数，则f'(0)的值是____

。参考答案：13.在等差数列中,,,则该数列前20项的和为____.参考答案：30014.一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．则这个容器侧面积S表示成x的函数为

．参考答案：S=10x（0＜x＜10）白色的三角形的面积为，正四棱锥的侧面积为S=4S△=10x（0＜x＜10）15.若实数x，y满足不等式组，则的最小值是_______．参考答案：1【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数可化为直线，当直线平移经过点A时，此时在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．16.某单位有老人20人，中年人120人，青年人100人，现采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n的样本，已知青年人抽取的人数为10人，则n=．参考答案：24【考点】分层抽样方法．【分析】先求三层的比例，然后求得青年人中抽取总人数的比例，从而求出抽取样本容量．【解答】解：由题意，因为20：120：100=1：6：5，所以青年人中抽取总人数的=，故n=10÷=24．故答案为：24．17.（2015?上海模拟）数列{an}的通项公式an=，前n项和为Sn，则=．参考答案：【考点】：数列的极限．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：先利用裂项相消法求出Sn，再求极限即可．解：Sn=1+=1+﹣+﹣+…+﹣=﹣，则==．故答案为：．【点评】：本题考查数列极限的求法，属中档题，解决本题的关键是先用裂项相消法求和，再利用常见数列极限求解．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别a，b，c，f（x）=2sinxcos（x+A）+sin（B+C）（x∈R），函数f（x）的图象关于点(，0)对称．（I）求A；（II）若b=6，△ABC的面积为6，求的值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据两角和的正余弦公式及二倍角的公式进行化简，便可得出f（x）=sin（2x+A），根据f（x）的图象关于点对称，即可得出，从而求出A=；（Ⅱ）由三角形的面积公式即可求出c=4，由余弦定理即可求出a，及cosC的值，然后进行数量积的计算即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcos（x+A）+sin（B+C）=2sinx（cosxcosA﹣sinxsinA）+sinA=2sinxcosxcosA﹣2sin2xsinA+sinA=sin2xcosA+cos2xsinA=sin（2x+A）；因为函数f（x）的图象关于点对称；所以；即，又∵0＜A＜π；∴；∴；（Ⅱ）∵b=6，△ABC的面积为；∴；∴c=4；∴；∴，；∴．19.已知角是的内角，分别是其对边长，且.（1）若，求的长；（2）设的对边，求面积的最大值.参考答案：（1）；（2）.

略20.某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点．（1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取最大值时对应的x值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）参考答案：考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由曲线过点，代入曲线方程，求出a值，确定函数关系式；再分别求出分段函数各段上的最大值进行比较，从而得出药量峰值（y的最大值）与达峰时间；（2）把y=1分别代入两个函数关系式求时间，再求时间差，即可得出服用该药一次后能维持多长的有效时间．解答：解：（1）由曲线过点，可得，故a=8…（2分）当0＜x＜1时，，…（3分）当x≥1时，设2x﹣1=t，可知t≥1，（当且仅当t=1时，y=4）…（5分）综上可知ymax=4，且当y取最大值时，对应的x值为1所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小时．

…（6分）（2）当0＜x＜1时，由，可得x2﹣8x+1=0，解得，又，故．

…（8分）当x≥1时，设2x﹣1=t，则t≥1，由，可得，解得，又t≥1，故，所以，可得．…（12分）由图象知当y≥1时，对应的x的取值范围是，∵，所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间．

…（14分）点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：?n∈N*，不等式ln（）e＜．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题；分类讨论；转化思想．分析：（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．解答： 解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e时，，当x＞e时，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即时，f（x）在[m，2m]上单调递增∴，②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减∴，③当m＜e＜2m，即时∴．（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，∴在（0，+∞）上恒有，即且当x=e时“=”成立，∴对?x∈（0，+∞）恒有，∵，∴即对?n∈N*，不等式恒成立．点评：此题是个中档题．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力．22.已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）．（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值；（3）当a≠0时，若f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）先求导数，再根据x=1是f（x）的极值点得到：“f′（1）=0”，从而求得a值；（2）先根据切线方程为x+y﹣3=0利用导数的几何意义求出a值，再研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．（3）由题意得：函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，所以函数f′（x）在（﹣1，1）上存在零点．再利用函数的零点的存在性定理得：f′（﹣1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，即a2﹣2a=0，解得a=0或2；（2）∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上．∴f（1）=2∵（1，2）在