山西省忻州市南西力学校高三数学理期末试题含解析

山西省忻州市南西力学校高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.参考答案：A2.已知两个单位向量满足，则的夹角为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由已知模求出，再利用向量夹角公式计算。【详解】∵是单位向量，∴，，，∴。故选：A。【点睛】本题考查求向量的夹角，可根据数量积定义由两向量的数量积求出其夹角的余弦，而求向量的数量积必须利用向量的模与向量数量积的关系转化计算，即。3.称为两个向量间的“距离”，若向量满足：(1)；(2)；(3)对任意的，恒有，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：即,,上式整理可得.恒成立即恒成立.,.,.所以B正确.考点：1向量的数量积;2向量垂直.4.已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为 （

） A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.若不等式对成立，则实数m的取值范围是（

）A. B. C. D.[1,+∞)参考答案：A【分析】设，由题意将原问题转化为求，利用导数分析的单调性求得最大值，代入解不等式即可.【详解】设，由，则在上恒成立，∴单调递减，则；当时，，解得：；当时，，恒成立；综上知：当m时，不等式对成立.故选A.【点睛】本题考查了利用导数求解函数最值的问题，考查了绝对值不等式的解法，考查了恒成立问题的转化，属于中档题.6.

设，则二项式展开式中的项的系数为

A.-20

B.20

C.-160

D.160参考答案：C7.已知，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】算出后可得它们的大小.【详解】∵，，，∴，故选：B．【点睛】本题考查指数幂的大小比较，属于容易题.8.设事件A，B，已知=，=,=，则A，B之间的关系一定为（

）．

（A）互斥事件；

（B）两个任意事件；

（C）非互斥事件；

（D）对立事件；参考答案：A9.将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法共有（

）A.15种

B.18种

C.19种

D.21种参考答案：B10.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②

B．①②③

C．①

D．②③参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

若，则的最小值为

;参考答案：12.若复数满足，则的值为___________.参考答案：略13.

过点的直线与圆：交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程是：

．参考答案：答案：x+y=314.（5分）函数f（x）=|2x+1|+|ax|，若存在三个互不相等的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则实数a=．参考答案：±2∵函数f（x）=|2x+1|+|ax|，显然a=0不满足条件．当a＞0时，f（x）=，函数的图象如图所示：其中，A（﹣，），B（0，1）．要使存在三个互不相等的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（X3），必须有，∴a=2．当a＜0时，同理求得a=﹣2，故有a=±2，故答案为±2．15.中国古代数学瑰宝《九章算术》中有这样一道题：“今有堑堵（底面为直角三角形的直棱柱）下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为直角三角形的直棱柱，底面的直角边长宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，则题中的堑堵的外接球的表面积为

平方尺．参考答案：16.已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标、满足不等式组，则的取值范围是

．参考答案：[1，6]先根据约束条件画出可行域，再利用向量的数量积表示出，利用z的几何意义求最值即可．N（x，y）的坐标x，y满足不等式组表示的可行域如图：目标函数为由向量的数量积的几何意义可知，当N在（3，0）时，取得最大值是（3，0）·（2，1）=6，在（0，1）时，取得最小值为（2，1）·（0，1）=1，所以的取值范围是[1，6]，所以答案应填：[1，6]．考点：1、简单线性规划；2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【方法点晴】本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识，属于基础题．文科考查线性规划问题都考查的比较浅，难度不大这与理科有所区别，本题就具备这个特点，只是目标函数稍加变动．解线性规划问题的一般步骤：一是作出可行域；二是作出目标函数对应的过原点的直线；三是平移到经过平面区域时目标函数的最值．17.曲线在点(0,0)处的切线方程为__________．参考答案：y=2x

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为．（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（1）中的参数方程，确定点D的坐标．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先求出半圆C的直角坐标方程，由此能求出半圆C的参数方程．（2）设点D对应的参数为α，则点D的坐标为（cosα，1+sinα），且α∈[﹣]，半圆C的圆心是C（0，1）因半圆C在D处的发线与直线l垂直，故直线DC的斜率与直线l的斜率相等，由此能求出点D的坐标．【解答】解：（1）∵半圆C的极坐标方程为．即ρ2=2ρsinθ，，∴半圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，x∈[0，1]，∴半圆C的参数方程为．（2）设点D对应的参数为α，则点D的坐标为（cosα，1+sinα），且α∈[﹣]，由（1）知半圆C的圆心是C（0，1）因半圆C在D处的发线与直线l垂直，故直线DC的斜率与直线l的斜率相等，，即tanα=，∵α∈[﹣]，∴α=，∴点D的坐标为D（，）．19.广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB=，记该设施平面图的面积为S（x）m2，∠AOB=xrad，其中＜x＜π．（1）写出S（x）关于x的函数关系式；（2）如何设计∠AOB，使得S（x）有最大值？参考答案：【考点】弧度制的应用．【专题】函数思想；三角函数的图像与性质．【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面积，然后，求和即可得到相应的解析式；（2）根据三角函数辅助角公式和导数的计算等知识求解其最大值即可．【解答】解：（1）∵扇形AOB的半径为2m，∠AOB=xrad，∴S扇形=x?22=2x，过点B作边AC的垂线，垂足为D，如图所示：则∠BOD=π﹣x，∴BD=2sin（π﹣x）=2sinx，OD=2cos（π﹣x）=﹣2cosx，∵∠ACB=，∴CD=BD=2sinx，∴S△BOC=CO?BD=（2sinx﹣2cosx）×2sinx=2sin2x﹣2sinxcosx=1﹣cos2x﹣sin2x，∴S（x）=1﹣cos2x﹣sin2x+2x，（2）根据（1），得到S（x）=1﹣cos2x﹣sin2x+2x，∴S′（x）=2sin2x﹣2cos2x+2，令S′（x）=0，∴2sin（2x﹣）=﹣2，∴sin（2x﹣）=﹣，∴2x﹣=，∴x=，根据实际意义知，当x=时，该函数取得最大值，故设计∠AOB=时，此时S（x）有最大值．【点评】本题重点考查了三角形的面积公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．20.设、分别是椭圆的左、右焦点．（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的坐标；（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）易知，，．∴，．设．则，．．．．．．2分又，联立，解得，．．．．．．．5分（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．联立∴，．．．．．．6分由，，得．①．．．．．．7分又为锐角，∴．．．．．．8分又∴∴．②．．．．．．10分综①②可知，∴的