山东省烟台市中德外国语中学2022年高一数学理期末试卷含解析

山东省烟台市中德外国语中学2022年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入元定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年5月10日将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：D略2.函数的零点的个数为（

）个

参考答案：B3.已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若，则=（）A. B. C.1 D.2参考答案：B【分析】利用正弦定理化边为角，可求得，从而可得答案．【详解】由题意，因为，根据正弦定理可得，，即，所以，则．故选：B．【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练灵活应用正弦定理的边角互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

4.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则?UA=（）A．? B．{2，4，6} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，7}参考答案：C【考点】补集及其运算．【分析】由全集U，以及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，∴?UA={1，3，6，7}，故选C5.下列命题，正确命题的个数为(

)①若tanA?tanB＞1，则△ABC一定是钝角三角形；②若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC一定是直角三角形；③若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC一定是等边三角形；④在锐角△ABC中，一定有sinA＞cosB．⑤在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是等边三角形．A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】①切化弦，利用合角公式可得cos（A+B）＜0，推出C为锐角；②⑤利用正弦定理，再用和角公式得出结论；④根据|cosX|≤1，不等式可转换为cos（A﹣B）=cos（B﹣C）=cos（C﹣A）=1，进而得出结论．【解答】解：①若tanA?tanB＞1，∴tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，∵sinAsinB＞cosAcosB，∴cos（A+B）＜0，∴A+B为钝角，故C为锐角，则△ABC一定是锐角三角形，故错误；②若sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理可得：a2+b2=c2，则△ABC一定是直角三角形，故正确；③若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，∵|cosX|≤1，∴cos（A﹣B）=cos（B﹣C）=cos（C﹣A）=1∵A、B、C＜180°∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0∴A=B=C=60°∴△ABC是等边三角形则△ABC一定是等边三角形，故正确；④在锐角△ABC中，∴A+B＞90°，∴A＞90°﹣B，∴sinA＞sin（90°﹣B），∴sinA＞cosB，故正确；⑤在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵，由正弦定理知sinAcosB=sinBcosA，∴sin（B﹣A）=0，∴B=A，同理可得A=C，∴△ABC一定是等边三角形，故正确．故选C．【点评】考查了三角函数的和就角公式，正弦定理的应用．难点是对题中条件的分析，划归思想的应用．6.若集合，，则集合等于（）A. B. C. D.参考答案：B7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．16 B． C．32 D．48参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该多面体是如图所求的三棱柱ABC﹣A1B1C1，且△ABC中，AB=4，高为4，AC=BC，AA=2，由此能求出该多面体的体积．【解答】解：由三视图知该多面体是如图所求的三棱柱ABC﹣A1B1C1，且△ABC中，AB=4，高为4，AC=BC，AA=2，∴该多面体的体积：V=SABC×AA1==16．故选：A．8.设函数则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是（

）．（A）[，1] （B）[，＋∞)（C）[0，1] （D）[1，＋∞)参考答案：B9.（5分）要得到函数的图象，只需要将函数y=sin2x的图象上所有点（） A． 向左平移个单位长度 B． 向右平移单位长度 C． 向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度参考答案：C考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题： 计算题．分析： 由于将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，即可得函数的图象，从而得出结论．解答： 将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，即可得函数的图象，故选C．点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，属于基础题．10.函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（） A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2参考答案：A【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法． 【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可． 【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）， ∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1， ∵ω=2，∴T=π． 故选A 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设向量，，则，的夹角等于

．参考答案：试题分析：由题意得，，所以，所以向量，的夹角等于．考点：平面向量的夹角的计算．12.数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，其前n项和为Sn，则（1）a1+a3+a5+…+a99=

；（2）S4n=

．参考答案：（1）50；（2）8n2+2n．【考点】8H：数列递推式．【分析】（1）由已知数列递推式可得a2n+1+a2n﹣1=2．分别取n=1、3、5、…、49，可得a1+a3+a5+…+a99的值；（2）由已知数列递推式结合（1）可得（k∈N*）．设bn=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n=16n﹣6（n∈N*），则{bn}为首项为10，公差为16的等差数列．由此求得S4n=b1+b2+…+bn．【解答】解：（1）∵an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，∴a2n+1+a2n=4n﹣1，a2n﹣a2n﹣1=4n﹣3．两式相减得a2n+1+a2n﹣1=2．则a3+a1=2，a7+a5=2，…，a99+a97=2，∴a1+a3+a5+…+a99=25×2=50；（2）由（1）得，a3=2﹣a1，a2n+3+a2n+1=2，∴a2n+3=2﹣a2n+1=2﹣（2﹣a2n﹣1）=a2n﹣1（n∈N*）．当n=2k（k∈N*）时，a4k+3=a4k﹣1=…=a3=2﹣a1；当n=2k﹣1（k∈N*）时，a4k+1=a4k﹣3=…=a1．由已知可得a4k﹣1+a4k﹣2=8k﹣5，a4k﹣a4k﹣1=8k﹣3（k∈N*）．∴a4k﹣2=8k﹣5﹣a4k﹣1=8k﹣7+a1，a4k=8k﹣3+a4k﹣1=8k﹣1﹣a1．∴（k∈N*）．设bn=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n=16n﹣6（n∈N*），则{bn}为首项为10，公差为16的等差数列．∴S4n=b1+b2+…+bn=．故答案为：（1）50；（2）8n2+2n．【点评】本题考查数列递推式，考查了逻辑思维、推理论证以及计算能力，考查等差数列前n项和的求法，题目难度较大．13.三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____．参考答案：20π【分析】求出的外接圆半径，的外接圆半径，求出外接球的半径，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．【详解】由题意，设的外心为，的外心为，则的外接圆半径，在中，因为，由余弦定理可得，所以，所以的外接圆半径，在等边中，由，所以，所以，设球心为，球的半径为，则，又由面，面，则，所以该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积的求解，其中解答中熟练应用空间几何体的结构特征，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．14.参考答案：2715.求值：_____________。

参考答案：

16.已知为三角形的一个内角，

，则_________.参考答案：或17.等差数列中,则_________。参考答案：38;三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．参考答案：【考点】轨迹方程；三角形的面积公式．【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（x，y），则，．由题意可得：．即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵kON=3，∴直线l的斜率为﹣．∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|==．∴．19.（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）吧a的值代入确定出B，求出A与B的并集即可；（2）由A与B的交集为B，得到B为A的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A=[0，3），B=[a，a+2）=[﹣1，1），∴A∪B=[﹣1，3）；（2）∵A∩B=B，∴B?A，∴，解得：0≤a≤1．【点评】此题考查了集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．20.（12分）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示.销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

参考答案：略21.设函数（1）当时,求函数的值域;（2）若函数是（-，+）上的减函数，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）时,当时,是减函数,所以,即时,的值域是当时,是减函数,所以,即时,的值域是于是函数的值域是

5分（Ⅱ）若函数是（-，+）上的减函数,则下列①②③三个条件同时成立:①当,是减函数,于是则②时,是减函数,则③,则于是实数的取值范围是

6分22.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB=﹣bcosC（1）求角B的大小；（2）若b=7，a+c=8，求a、c的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理及三角函数恒等变