广东省湛江市吴川樟铺中学高三数学理模拟试题含解析

广东省湛江市吴川樟铺中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等比数列的公比，前n项和为，则（

）A．

B．

C．2

D．4参考答案：A略2.类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：，，其中，且，下面正确的运算公式是①；

②；③2；

④2.A.①②

B.③④

C.①④

D.②③参考答案：B3.设偶函数对任意，都有，且当时，,则=(

)

A．10

B．

C．

D．

参考答案：B4.下面四个条件中，使成立的充分不必要条件为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A因为，所以是成立的一个充分不必要条件，选A.5.已知函数，其中，，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.从双曲线的左焦点引圆的切线交双曲线右支于点，为切点,为线段的中点，为坐标原点，则等于（

）A． B． C． D．参考答案：C7.计算机执行右边程序框图设计的程序语言后，输出的数据是55,则判断框内应填（

）A．n＜7

B．n≤7

C．n≤8

D．n≤9参考答案：A略8.给出下列命题，其中真命题的个数是①存在，使得成立;②对于任意的三个平面向量、、，总有成立;③相关系数()，值越大，变量之间的线性相关程度越高.A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B9.在内随机地取一个数，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A若直线与圆有公共点，则因此概率为，选A10.为了得到函数的图像，只需将函数的图像A.向左平移个长度单位

B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位

D.向右平移个长度单位参考答案：A因为，所以为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵．参考答案：【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】直接利用方程组与系数矩阵写出结果即可．【解答】解：关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵，故答案为：．【点评】本题考查方程组与系数矩阵的关系，是基础题．12.执行如图所示的流程图，则输出的S＝________.参考答案：750013.已知直线与圆相交于A，B两点，点，且，若，则实数k的取值范围是

．参考答案：14.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若=2，=1，且BAD=60o，则

。

参考答案：

15.已知则

．参考答案：24，.

16.如图，已知是圆的切线，切点为，交圆于两点，，，则线段的长为

.参考答案：117.给定两个长度为，且互相垂直的平面向量和，点在以为圆心、为半径的劣弧上运动，若，其中、，则的最大值为______．参考答案：2设，则由得，则表示点C到定点距离平方的最大值，由图象可知，当点C为时，最大，此时。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设的BC边上的高AD=BC，a，b，c分别是内角A，B，C的对边。

（1）求的最小值及取得最小值时的值；

（2）把表示为的形式，判断能否等于？并说明理由。参考答案：解：（1）＋，当且仅当=时，即三角形是等腰三角形时，取得最小值2；此时，…………5分（2），，＋…………9分，其中，当且仅当，即时，＋取得。因为△ABC的BC边上的高AD＝BC，所以同时成立，所以a是最小的边，，所以。因为，所以＋可以取到…13分19.（14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点

不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面；

（2）直线平面．参考答案：证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。

又∵平面，∴。

又∵平面，∴平面。

又∵平面，∴平面平面。

（2）∵，为的中点，∴。

又∵平面，且平面，∴。

又∵平面，，∴平面。

由（1）知，平面，∴∥。

又∵平面平面，∴直线平面【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。

（2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。20.已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求函数f（x）的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在区间（0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区（0，e]上的最小值，先求出导函数f'（x），然后讨论研究函数在（0，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．【解答】解：（1）因为f′（x）=﹣+=，当a=1，f′（x）=，令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分（2）∵f′（x）=，（a≠0，a∈R）．令f′（x）=0，得到x=，若在区间[0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．（i）当x=＜0，即a＜0时，f′（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减，故f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a，由+a＜0，得a＜﹣；（ii）当x=＞0，即a＞0时，①若e≤，则f′（x）≤0对x∈（0，e]成立，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减，∴f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a＞0，显然，f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0不成立．②若1＜＜e，即a＞时，则有x（0，）（，e）f′（x）﹣0+f（x）↘极小值↗∴f（x）在区间[0，e]上的最小值为f（）=a+aln，由f（）=a+aln=a（1﹣lna）＜0，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．综上，由（1）（2）可知：a∈（﹣∞，﹣）∪（e，+∞）．21.已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．参考答案：考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，根据函数的周期求ω，把所给的点的坐标代入求出Φ的值，从而确定出函数的解析式．（Ⅱ）根据条件2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．解答：解：（Ⅰ）由于．（2分）∵最高点与相邻对称中心的距离为=，则，即T=π，（3分）∴，∵ω＞0，∴ω=2．（4分）又f（x）过点，∴，即，∴．（5分）∵，∴，∴．（6分）（Ⅱ）2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理可得2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA，解得．（8分）又∵，∴．（9分）又，，∴b=6，（11分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，∴．（12分）点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．22.（本小题满分12分）有编号为…..的6位同学，进行100米赛跑，得到下面的成绩：编号成绩（秒）12.212.411.813.111.813.3其中成绩在13秒内的同学记为优秀.（1）从上