二章矩阵各节内容讲解课件

第二章矩阵各节内容讲解§2·1矩阵的概念§2·2矩阵的运算§2·3几种特殊矩阵§2·4n阶方阵的行列式§2·5逆矩阵§2·6矩阵的初等变换和初等矩阵§2·7矩阵的秩§2·8分块矩阵2·1

矩阵的概念排成的一个m行n列的数表称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵。矩阵的第i行j列元素定义

由m×n个数例如2×4矩阵3×3矩阵矩阵常用的记号：

大写英文字母A,B,C,…A2×4=(aij)3×3=

(aij)

Am×n

(aij)m×n

特别地当m=1时，称为n阶方阵称为行矩阵当n=1时，称为列矩阵当m=n=1时，可视为普通数来处理当m=n时，称为零矩阵，记为或O记为或E当时对n阶方阵A=(aij),若：即称为单位矩阵，对矩阵A=(aij)，称(-aij)为矩阵A的负矩阵，记为-A

即矩阵概念与行列式概念的区别：一个行列式代表一个数一个矩阵代表一个数据表格例如而表示一个数表2、二者记号不同：行列式用,矩阵用（）。3、行列式的行数和列数必须相同，而矩阵的行数与列数可以不同。例

对m×n

线性方程组把方程组中系数及常数项按原来次序取出，作一个矩阵m×(n+1)增广矩阵（*）则线性方程组（*）与之间的关系是1-1对应的=

B把未知量的系数按原来次序拿出来作一个矩阵m×n=A系数矩阵把常数列按原来次序拿出来作一个矩阵m×1=常数矩阵把未知量拿出来作一个矩阵n×1=X未知量矩阵2·2矩阵运算定义

若两个有相同行数和相同列数的矩阵满足则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B.例如：若

且A=B则有c=0;a=-1;b=2;d=3.一、矩阵的加法定义

由矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)m×n的各对应元素相加而得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和。记为：A+B

即简记为：

例如

矩阵加法的性质：（1）A+B=B+A（2）(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A（4）A+(-A)=A-A=O矩阵的减法：例如

二、数与矩阵的乘法（简称数乘）

定义

由常数k乘以矩阵Am×n的每个元素而得到的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，简称数乘。记为kA数乘的性质：

设A,B,O均为m×n矩阵，k,t为常数,则

(1)k(A+B)=kA+kB

(2)(k+t)A=kA+tA

(3)(kt)A=k(tA)=t(kA)

(4)1A=A

(5)0A=O

(6)若k≠0,A≠O,则kA≠O

例2

求矩阵X，使3A+2X=3B。其中解

由3A+2X=3B解得:2X=3B-3A即所以三、矩阵与矩阵的乘法

定义

设矩阵，，由元素构成的矩阵称为矩阵A与矩阵B的乘积。记为C=AB.i行

j

列即:关于矩阵乘法的说明：1.只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相同时，AB才有意义.2.C的行数=第一个矩阵A的行数C的列数=第二个矩阵B的列数

例3

设,求AB.解

注：此题BA无意义因为

○○例4

设,求

AB.解

注此题BA有意义,

BA是一个数

例5,,求AB.解注：此题BA有意义但AB与BA的行列数不同

例6

设

,求AB.解注：(1)此题BA有意义,

BA与AB行列数相同,但AB≠BA(2)BA=O,但B≠O,且A≠O

例7设

求：AB,AC.解

注：此题AB=AC,且A≠O,但B≠C

矩阵乘法与实数乘法的比较：

(1)实数乘法满足交换率。即ab=ba

矩阵乘法不满足交换率。即

AB≠BA

(2)实数乘法满足消去率。即：若ab=ac,且a≠0,则有b=c,

矩阵乘法不满足消去率即：由AB=AC,且A≠O,不能得出B=C.

(3)在实数乘法中，若ab=0,可推出a=0或b=0,

在矩阵乘法中，由AB=O不能推出A=O或B=O.

矩阵乘法的性质：

(1)A(BC)=(AB)C(2)t(AB)=(tA)B=A(tB)(3)(A+B)C=AC+BC(4)A(B+C)=AB+AC(5)AE=EA=A注意：在性质（5）中，若A是m×n矩阵，则AE中的E为En,而EA中的E为Em对m×n线性方程组取，，所以线性方程组即AX=B可表示为：

定义设A为n阶方阵，k为正整数，k个A的连乘积称为方阵A的k次幂。记为：Ak即例如：则

方幂的性质：注意：（1）只有当A为n阶方阵时，才有方幂的概念。（2）（AB)k≠Ak

Bk

ⅰ）Ak和Bk可能无意义例如有意义，但Ak、

Bk无意义ⅱ）由于乘法不满足交换率注意：中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的元素四、矩阵的转置

定义

将矩阵A的行列互换得到的矩阵，称为矩A的转置矩阵，简称转置。即若则记为或转置的性质：（1）（2）（3）（4）例如：则，一般情况下

例8

设矩阵求解法一：解法二：二、矩阵的加（减）法三、数与矩阵的乘法（简称数乘）矩阵的运算小结一、矩阵相等4、矩阵的乘积：设矩阵，，注意：(1)矩阵乘法不满足交换率，即：AB≠BA(2)矩阵乘法不满足消去率，即：由AB=AC，

且A≠O,不能得出B=C。

(3)在矩阵乘法中，由AB=O不能推出A=O或

B=O这里：5、方阵的幂：设A为n阶方阵，k为正整数注意：(1)只有当A为n阶方阵时，才有方幂的概念。(2)(AB)k≠AkBk6、矩阵的转置即若m×n则n×m注意：(1)中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的元素(2)一般情况下2.3几种特殊矩阵一、对角矩阵定义主对角线以外的元素都是0的方阵称为对角矩阵，即例如，均为对角矩阵。

对角矩阵的性质：性质1

两个同阶对角矩阵相加仍为对角矩阵。性质2

数乘对角矩阵仍为对角矩阵。性质3

两个同阶对角矩阵的乘积仍为对角矩阵，且它们的乘积可交换。性质4

对角矩阵的转置矩阵仍为原对角矩阵，即

思考题单位矩阵、数量矩阵是对角矩阵吗？对角矩阵的主对角线上的元素都相等吗？主对角线上可以有零元素吗？定义主对角线以下的元素都是0的方阵称为上三角矩阵，即二、三角矩阵主对角线上方的元素全是0的n阶矩阵，称为n阶下三角矩阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵。

三角矩阵具有下列性质：

性质1

上（下）三角矩阵的和，数乘，乘积仍是上（下）三角矩阵。

性质2

上（下）三角矩阵的转置矩阵是下（上）三角矩阵。定义

设A是实的n阶方阵，若，则称A为实对称矩阵。，B不是对称的例如，A是实对称矩阵的三、对称矩阵

例8

若A实对称矩阵，证明：对于任意n阶方阵P,

必为实对称矩阵.证明

定义

由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式，称为方阵A的行列式。记为即：对2.4方阵的行列式方阵的行列式性质：

设A、B是n阶方阵，t是常数，则（1）（2）（3）4.注意：

2.只有当A、B是同阶方阵时，才成立.

(因为当Am×n、B

n×m时，ABn×m，有意义，但和无意义）3.当A、B是同阶方阵时，有

(虽然AB≠BA)；1、只有当A是方阵时，才有A的行列式课堂练习

2、已知A是三阶方阵，且，，求

（1）若矩阵A的行列式，则必有A=0（2）若矩阵A的行列式，则必有A=E（3）若n阶方阵A、B、C满足A=B+C，则必有

×反例反例××1、判断题

2.当A、B是同阶方阵时，有

方阵的行列式小结对方阵3.注意：只有当A是方阵时，才有A的行列式（虽然AB≠BA)；一背景二逆矩阵的概念与性质三应用四小结2.5可逆矩阵数的乘法运算中的１，在数的运算中，当数a≠０时，有则称为的倒数，在一个矩阵，有在矩阵的运算中，一、背景1、数2、矩阵则矩阵Ａ称为的可逆矩阵，（或称为a的逆）；单位阵Ｅ相当于那么，对于矩阵Ａ，如果存称为的逆阵.3、线性方程组求解上述线性方程组可表示为方程组的解例1的逆矩阵记作二、逆矩阵的概念和性质1.定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得则称矩阵是可逆的，是的逆矩阵.并把矩阵称为的逆矩阵.若设和是可逆矩阵，则有所以的逆矩阵是唯一的,即说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.证明于是例2设,求的逆.解设则2、伴随矩阵

定义行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij

所构成的如下矩阵性质称为矩阵A的伴随矩阵.例4

求

的伴随矩阵A*.

解同理

A13=1，A21=-2，A22=1，A23=-1，A31=-1，A32=2，A33=1因此A的伴随矩阵

A11A21A31A12A22A32A13A23A33三阶矩阵A的伴随矩阵A*为

，证明，使得两边求行列式，有定理1若矩阵可逆，则若矩阵可逆，则即有定理2矩阵可逆的充要条件是，且其中为矩阵的伴随矩阵.证明因为矩阵与其伴随矩阵有，故有又因为所以，按逆矩阵的定义，即有3.判别矩阵可逆的条件

=—A*.1|A|A-1

矩阵A可逆|A|0；

例5

求矩阵

A=的逆矩阵.

2-3

1

1

2

0

0-5

1

2-3

1

1

2

0

0-5

1

解

因为=20，

所以A可逆.

又因为A12A13A11A22A23A21A32A33A31A*=10

7-5-2-2

2

2

1-1

=，所以=—A*1|A|=—12A-110

7-5-2-2

2

2

1-1

5

7/2-5/2-1-1

1

1

1/2-1/2=

.|A|=伴随矩阵法例6讨论：

(1)如何求二阶矩阵

A=的逆矩阵。a11a21a12a22提示：A*=A11A12A21A22a22-a21-a12a11=，=a11a22-a12a21，a11a21a12a22|A|==—A*1|A|A-1a22-a21-a12a11=—————.1a11a22-a12a21(2)如何求对角矩阵的逆矩阵。

(1)

(2)推论若或，则所以可逆.由，得例7可逆，并求它们的逆矩阵.设方阵满足方程，证明证明A+2E可逆自己证明。4.可逆矩阵的性质

(3)若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB)1B

1A1.

(2)若A可逆，数l0，则lA

可逆，且(lA)1l1A1.

(1)若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.

(4)若A可逆，则AT也可逆，且(AT

)1(A1)T

.(5)|A1|=|A|1.特别注意:

A，B可逆，A+B未必可逆.即使A+B可逆，但一般地

例如显然A、B可逆，

但因为

|A+B|=0,故A+B不可逆.当A=B时，，而不是

线性方程组

的矩阵形式为

其中

当|A|≠0时，A-1存在，AX=b两边左乘A-1，得

X=A-1b这就是线性方程组解的矩阵表达式.

三、应用-----用逆矩阵求解线性方程组例8解例9解矩阵方程解为什么？注：求解矩阵方程A-1

=，

3

1-3-2-15/2

1

1-3/2

1

3

2

2

4

2

3

3

1

例10设A=，B=，C=.

5

2

3

1

1

3

2

3

1

0

求矩阵X

使AXBC.

-5

3

2-1B-1=，解

X=

3

1-3-2-15/2

1

1-3/2

1

3

2

3

1

0-5

3

2-1-2-10

10

1

4-4=.XA-1CB-1

为什么？逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法：逆矩阵存在四、小结定义法初等变换法（后面介绍）伴随矩阵法2.6

矩阵的初等行变换和初等矩阵一、矩阵的初等行变换对矩阵进行下列变换称为矩阵的初等行变换：（①，②）②×2③+①×2矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.定义

由单位矩阵E

经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵：二、初等矩阵的概念例1

以下矩阵是否初等矩阵?对换矩阵：（①，②）倍加矩阵：③＋①×(－1)不是初等矩阵2.初等矩阵均可逆。1.初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵.三、初等矩阵的性质四、初等矩阵的应用例2

注意下列矩阵运算：设定理1

设A是一个mn矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m

阶初等矩阵.初等行变换初等矩阵对换变换：（①，②）倍乘变换②×3倍加变换②＋①×(－3)②＋①×(－2)③＋①③+②②＋①×(－6)③＋①×(－7)②+③×(－1)③+②×(－6)③×1/7②+③×3①+③×(-3)①+②×2②×(-1)

定理2

方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵由此得到求逆矩阵的另一种方法：初等行变换法。例3

解②＋①×(－2)③+①×(-3)①＋②③+②×(－1)①+③×(-2)②+③×(-5)③×(-1)②×(－1/2)即初等行变换例5解小结1.单位矩阵初等矩阵.一次初等行变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是:2.7

矩阵的秩

矩阵的秩是反映矩阵本质属性的重要概念之一。为介绍矩阵的秩的概念，首先给出阶梯形矩阵的定义。

定义满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵，简称阶梯阵：（1）如果矩阵有零行，零行在矩阵的最下方。（2）各个非零行（元素不全为０的行）的第1个非零元素(称为主元）的列标随着行标的递增而严格增大；例1，都是阶梯阵；而都不是阶梯阵。

定理任意一个矩阵经过若干次初等行变换均可以化成阶梯阵。注意

此定理的证明告诉我们将任意矩阵A经过初等行变换化成阶梯形矩阵的方法。

定义

一个矩阵A经过初等行变