数学人教八年级上册（2013年新编）12-3-1 角的平分线的性质（课件）

角的平分线的性质1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.（重点）1.角平分线的概念从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.∵∠1=∠2∴BD是∠ABC的平分线2.通过折纸的方法做一个角的平分线下边是利用角平分仪平分一个角的演示过程.你能说明它的道理吗？其中AB=AD，BC=DC.则：AE为∠α的角平分线.你能用学过的知识说明为什么吗？证明：在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)∴∠BAC=∠DAC

即AE是∠α的角平分线尺规作图---作角的平分线已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.

尺规作图---作角的平分线已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线?证明：在△OMC与△ONC中，∴△OMC≌△ONC

(SSS)∴∠AOC=∠BOC

即OC是∠AOB的角平分线

在∠AOB的平分线OC上任取一点P,过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D,E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论?在OC上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质?数量关系：PD=PE

在∠AOB的平分线OC上任取一点P,过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D,E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论?在OC上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质?数量关系：PD=PE【猜想】角平分线上的点到角的两边的距离相等.你能利用三角形全等证明这个性质吗？已知:_________________________________求证:_________________________________角平分线上的点到角的两边的距离相等.这个点到这个角两边的距离相等一个点在一个角的平分线上如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证PD=PE.转化成具体问题为如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证PD=PE.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中，∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等.※角平分线的性质几何语言：∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴PD=PE一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.例1.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且D是BC的中点,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证:BE=CF.证明:∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵D是BC的中点，∴BD=CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE=CF.如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.例2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,问:能否在AB上确定一点E，使△BDE之周长等于AB的长?解:能在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长.即过点D作DE⊥AB于E，则E点就是所要确定的点.∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB∴DC=DE在Rt△ACD和Rt△AED中,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE∴AC=BC，∴AE=BC∴C△BDE=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD与BC之间的距离为6.例3.如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=8，BC=6，则AF=________．7【分析】连接AE，BE，∵AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°，DE=DE，∴△ADE≌△BDE，∴AE=BE．过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，∵∠ACE+∠BCE=180°，∠GCE+∠BCE=180°,∴∠ACE=∠GCE，∵EF⊥AC，EC=EC∴EF=EG，∴△AFE≌△BGE，△EFC≌△EGC，∴AF=BG，CF=CG，∴AF=BG=BC+CG=BC+CF=BC+AC-AF，∴2AF=BC+AC，∵AC=8，BC=6，∴AF=7.1.如图，∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，且AB=3cm,BD=2cm，则DE=____cm.2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积为_____.3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6cm，则△DEB的周长为_____cm.1564.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()

A．6

B．5

C．4

D．3DBCEAD【分析】过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴

∴AC＝3.F6.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（）A．180° B．200° C．210° D．240°解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF=DH，在Rt△DFE和Rt△DHG中，∴

Rt△DFE≌Rt△DHG（HL）∴∠DEF=∠DGH∵∠AED+∠DEF=180°∴∠AED+∠AGD=180°

A7.如图，OC平分∠AOB，OA=OB，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E.求证：PD=