新人教版高中数学必修第一册教学课件和校本4 4对数函数说课

4.4.2对数函数的图像和性质第四章指数函数与对数函数学习目标通过具体对数函数图像，掌握对数函数的图像和性质特征，并能解决问题。知道同底的对数函数与指数函数互为反函数。我们该如何去研究对数函数的性质呢？提出问题列表x…1/41/2124…y

=

log2

x…-2-1012…y

=

log

1

x2…210-1-2…作图步骤：1.列表2.描点3.连线问题1.画出函数y

=log2

x

和x

的图象。y

=

log12问题探究描点连线-1-21

240y2x311

14

2y=log2xx…1/41/2124…y

=

log

2

x…-2-1012…y

=

log

1

x2…210-1-2…列表问题探究问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，2种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？y

=

log

2

x比如

和

y

=

log

1

x

，它们的图象是否也有某描点连线-1-2124210yx31

14

2y=log1/2xy=log2xx…1/41/2124…y

=

log

2

x…-2-1012…y

=

log

1

x2…210-1-2…列表这两个函数的图象有什么关系呢？关于x轴对称问题3：底数a（a＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数值域和性质吗？x

（a＞０，且a≠１）的y

=

log

a问题探究问题探究y=logax（a>1）的图象问题探究y=logax（0<a<1）的图象问题探究当x>1

时，y>0;a＞1当x0>＜1

时a＜，y1<0;当图象0<x<1

时，y<0.y

=

loga

x(a

>1)当0<x<1

时，y>0.y

=

loga

x(0

<

a<1)性质⑴定义域：（0，+∞）⑵值域：R⑶过特殊点：过点（1，0），即x=1时y=0⑷单调性：在（0，+∞）上是增函数⑷单调性：在（0，+∞）上是减函数对数函数的图象和性质对数函数的性质的助记口诀:对数增减有思路,

函数图象看底数;底数只能大于0,底数若是大于1,底数0到1之间,等于1来也不行;图象从下往上增;图象从上往下减;无论函数增和减, 图象都过(1,0)点.记忆口诀例1：比较下列各组中，两个值的大小：（1）

log23.4与log28.5

；解（1）:用对数函数的单调性考察函数y=log

2

x

,∵a=2

>

1,∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；∵3.4<8.5∴

log23.4<

log28.5例题解析例1：比较下列各组中，两个值的大小：（2）

log

0.3

1.8与log

0.3

2.7解（2）：考察函数y=log

0.3

x

,∵a=0.3<

1,∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；∵1.8<2.7∴

log

0.3

1.8>

log

0.3

2.7例题解析例1：比较下列各组中，两个值的大小：（3）

log

a

5.1与log

a

5.9

（a＞０，且a≠１）解（3）：考察函数log

a

5.1与log

a

5.9

可看作函数y=log

ax的两个函值,对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论当a>1时,因为y=log

a

x是增函数，

且5.1

<5.9，所以log

a5.1<log

a5.9

；当0<a<1时,因为y=log

ax是减函数，且5.1

<5.9，所以log

a

5.1>loga

5.9

；例题解析归纳总结：当底数相同,真数不同时,利用对数函数的增减性比较大小。注意:当底数不确定时,要对底数与1的大小进行分类讨论。归纳总结练习1:比较下列各题中两个值的大小:⑴

log106

＜

log108log0.54⑵log0.56

＜⑶

log0.10.5

＞

log0.10.6⑷

log1.51.6

＞

log1.51.4跟踪训练练习2：已知下列不等式，比较正数m，n

的大小：(1)

log

3

m

<

log

3

n0.3

0.3(2)

log m

>

log

nlog

a

m<

loga

n

(0<a<1)log

a

m

>loga

n

(a>1)m

<

nm

<

nm

>

nm

>

n跟踪训练例2.溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为:pH

=-lg[H

+],其中[H

+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H

+]=10-7

摩尔/升，计算纯净水的pH

值.1,[H+]解：

(1)根据对数的运算性质得

pH

=-

lg[H+]

=lg[H+]-

1

=lg也减小，即pH减小.所以,[H

+]增大,pH减小,即溶液中氢离子的浓度越大,其酸碱度就越小.[H

+

]

[H

+

]1在(0,+¥

)上，[H

+

]增大，

1 减小，lg例题解析例2.溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为:pH

=-lg[H

+],其中[H

+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H

+]=10-7

摩尔/升，计算纯净水的pH

值.解：(2)当[H

+]=10-7

时，pH

=-lg

10-7

=7.即纯净水的pH是7.国家规定，饮用纯净水的pH应该在5.0

～

7.0之间.y∈（0，+∞），通过式子x=log2

，x在R中都有唯一确定的值和它对应。也就y是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log

y

（y∈（0，2+∞））是函数

y=2x

（

x∈R）

的反函数。但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数x=log

y

中的字母x，y，把它写成y=log

x ,这样，对数函数y=log

x

（

x∈（0，2

2

2+∞）

）是指数函数y=2x

（x∈R

）的反函数。因此，函数y=logax(a＞0,且a≠1)与指数函数y=ax互为反函数。已知函数

y=2x

（x∈R

，y

∈（0，+∞））

可得到x=log2

，对于任意一个y反函数图象质对数函数y=log

a

x

(a>0,

a≠1)指数函数y=ax

(a>0,a≠1)(4)

a>1时,

x<0,0<y<1;

x>0,y>10<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1(4)

a>1时,0<x<1,y<0;x>1,y>00<a<1时,0<x<1,y>0;x>1,y<0(5)a>1时,在R上是增函数；0<a<1时,在R上是减函数(5)a>1时,在(0,+∞)是增函数；

0<a<1时,在(0,+∞)是减函数性(3)过点(0,1),

即x=0

时,y=1(3)过点(1,0),即x=1

时,y=0(2)值域：(0,+∞)(1)定义域：R(1)定义域：(0,+∞)(2)值域：Ry=ax(a>1)y=ax(0<a<1)xyo

1

y=logax(a>1)xy=logax

(0<a<1)yo1A

[由图可知，a>1，故选A.]当堂达标解析：C

[(1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.]当堂达标3.已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.当堂达标4．函数

f(x)＝loga(2x－5)的图象恒过定点

．【答案】(3,0)

[由

2x－5＝1

得

x＝3，∴f(3)＝loga1＝0.即函数f(x)恒过定点(3,0)．]当堂达标5.比较下列各组数中两个值的大小:(1) log

6

7, log

7

6解:(1)∵log67＞log66＝1log76＜log77＝1∴log67＞log76log

2

0.8(2)

log

3

p

,(2)∵log3π＞log31＝0log20.8＜log21＝0∴log3π＞log20.8方法:当底数不同，真数不同时，

可考虑这些数与1或0的大小。当堂达标6:解不等式:log

1

(2x

+1)

>

log

1

22

22x

+1

<

2解：原不等