2023届北京市知春里中学数学高二第二学期期末经典试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，是第三象限的角，则（）A． B． C． D．2．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种 B．420种 C．630种 D．840种3．在复平面内，复数对应的点分别为.若为线段的中点，则点对应的复数是()A． B． C． D．4．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若240，则展开式中x的系数为（）A．300 B．150 C．－150 D．－3005．已知O是的两条对角线的交点．若，其中，则（）A．-2 B．2 C． D．6．若圆锥的高为，底面半径为，则此圆锥的表面积为（）A． B． C． D．7．已知，设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中的系数为（）A．-250 B．250 C．-500 D．5008．过抛物线：的焦点作两条互相垂直的直线，，直线交于，两点，直线交于，两点，若四边形面积的最小值为64，则的值为（）A． B．4 C． D．89．某射手射击一次击中靶心的概率是,如果他在同样的条件下连续射击10次,设射手击中靶心的次数为,若,,则()A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.310．等差数列{}中，，则前10项和()A．5 B．25 C．50 D．10011．已知在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．12．下列函数中与函数相同的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知棱长为的正方体中，，分别是和的中点，点到平面的距离为________________．14．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为．（以数字作答）15．地球的半径为，在北纬东经有一座城市，在北纬东经有一座城市，飞机从城市上空飞到城市上空的最短距离______．16．从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，切于点，直线交于两点，,垂足为.（1）证明：（2）若,，求圆的直径.18．（12分）已知函数．（1）函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围；（2）若连续掷两次骰子（骰子六个表面上标注点数分别为1、2、3、4、5、6），得到点数分别为和，记事件在恒成立}，求事件发生的概率．19．（12分）已知椭圆C：，点P（0，1）.（1）过P点作斜率为k（k＞0）的直线交椭圆C于A点，求弦长｜PA｜（用k表示）；（2）过点P作两条互相垂直的直线PA，PB，分别与椭圆交于A、B两点，试问：直线AB是否经过一定点？若存在，则求出定点，若不存在，则说明理由？20．（12分）如图，为圆锥的高，B、C为圆锥底面圆周上两个点，，，，是的中点．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）21．（12分）已知函数在处取得极值．确定a的值；若，讨论的单调性．22．（10分）如图，三棱柱中，，分别为棱和的中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面，且，求证:平面平面.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出的值.【详解】是第三象限角，，且，因此，，故选B.【点睛】本题考查两角和的正弦公式计算三角函数值，解题时充分利用同角三角函数的基本关系进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.2、B【解析】依题意可得，3位实习教师中可能是一男两女或两男一女．若是一男两女，则有种选派方案，若是两男一女，则有种选派方案．所以总共有种不同选派方案，故选B3、C【解析】

求出复数对应点的坐标后可求的坐标.【详解】两个复数对应的点坐标分别为，则其中点的坐标为，故其对应点复数为，故选：C.【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数对应的点是由其实部和虚部确定的，本题为基础题.4、B【解析】

分别求得二项式展开式各项系数之和以及二项式系数之和，代入，解出的值，进而求得展开式中的系数.【详解】令，得，故，解得.二项式为，展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为.故选B.【点睛】本小题主要考查二项式展开式系数之和、二项式展开式的二项式系数之和，考查求指定项的系数，属于中档题.5、A【解析】

由向量的线性运算，可得，即得解.【详解】由于，故所以故选：A【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于基础题.6、B【解析】

根据圆锥的高和底面半径求出母线长，分别求出圆锥侧面积和底面积，加和得到结果.【详解】由题意可得圆锥的母线长为：圆锥侧面积为：；底面积为：圆锥表面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查圆锥表面积的求解，关键是熟练掌握圆锥侧面积公式，属于基础题.7、A【解析】

分别计算各项系数之和为，二项式系数之和为，代入等式得到，再计算的系数.【详解】的展开式取得到二项式系数之和为取值为-250故答案选A【点睛】本题考查了二项式定理，计算出的值是解题的关键.8、A【解析】分析：详解：设直线的倾斜角为α，则当=1时S最小，故故选A.点睛：考查直线与抛物线的关系，将问题巧妙地转化为三角函数求最值问题时解题关键，属于中档题.9、B【解析】

随机变量X～B（10，p），所以DX=10p(1−p)=2.4，可得p=0.4或p=0.6，又因为P(X=3)<P(X=7),即，可得p>，所以p=0.6.【详解】依题意,X为击中目标的次数,所以随机变量服从二项分布X∼B(10,p)，所以D（X）=10p(1−p)=2.4，所以p=0.4或p=0.6，又因为P(X=3)<P(X=7),即，所以1−p<p,即p>，所以p=0.6.故选：B.【点睛】本题考查二项分布的概率计算、期望与方差，根据二项分布概率计算公式进行求解即可，属于简单题.10、B【解析】试题分析：因为.考点：等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质．点评：等差数列的性质之一：若,则．11、A【解析】

分析：构造新函数，利用已知不等式确定的单调性，详解：设，则，由已知得，∴是减函数．∵是偶函数，∴的图象关于直线对称，∴，，的解集为，即的解集为．故选A．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，解题关键是是构造新函数，对于含有的已知不等式，一般要构造新函数如，，，等等，从而能利用已知条件确定的单调性，再解出题中不等式的解集．12、B【解析】

判断各个选项中的函数和函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，从而得出结论．【详解】由于函数yt，和函数具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数，故B满足条件．由于函数y和函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除D．由于函数,y|x|和函数的值域不同，故不是同一个函数，故排除A,C．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的三要素，只有两个函数的定义域、对应关系、值域都相同时，这两个函数才是同一个函数，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

以D点为原点，的方向分别为轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解．【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，所以，，，设

是平面的法向量，则，即，令，可得，故，设点在平面上的射影为，连接，则是平面的斜线段，所以点到平面的距离．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、288.【解析】解：∵数学课排在前3节，英语课不排在第6节，∴先排数学课有种排法，再排最后一节有种排法，剩余的有种排法，∴根据分步计数原理知共有=288种排法.15、【解析】

先求,再求出弧所对应的圆心角，再结合弧长公式运算即可.【详解】解：由地球的半径为，则北纬的纬线圈半径为，又两座城市的经度分别为，，故经度差为，则连接两座城市的弦长为，则两地与地球球心连线夹角为，即，则两地之间的距离是,故答案为：.【点睛】本题考查了球面距离，重点考查了弧所对应的圆心角及弧长公式，属基础题.16、【解析】

基本事件总数，这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这两条棱所在的直线为异面直线的概率．【详解】解：从四棱锥的八条棱中随机选取两条，基本事件总数，这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是．故答案为:.【点睛】本题考查概率的求法.求古典概型概率时，可采用列举法将基本事件一一列出；也可结合计数原理的思想.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）3【解析】试题分析：（1）根据直径的性质，即可证明；（2）结合圆的切割线定理进行求解，即可求出的直径.试题解析：（1）因为是的直径，则又，所以又切于点，得所以（2）由（1）知平分，则，又，从而，所以所以，由切割线定理得即，故，即的直径为3.18、（1）（2）【解析】

（1）函数在区间上有两个不同的零点，等价于方程有两不等正实数解，由二次方程区间根问题即可得解；（2）由不等式恒成立问题，可转化为，求出满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可.【详解】解：（1）因为，由函数在区间上有两个不同的零点，则方程有两不等正实数解，由区间根问题可得，解得，即实数的取值范围为；（2）若连续掷两次骰子（骰子六个表面上标注点数分别为1、2、3、4、5、6），得到点数分别为和，计基本事件为，则基本事件的个数为，因为在恒成立，则在恒成立，即在成立，又，则，（当且仅当，即时取等号）即，满足此条件的基本事件有，共12个，由古典概型概率求法可得，事件发生的概率为，故事件发生的概率为.【点睛】本题考查了二次方程区间根问题、不等式恒成立问题及古典概型概率求法，属中档题.19、（1）；（2）直线AB过定点.【解析】

（1）先由题意得到直线PA的方程，联立直线与椭圆，得到A点坐标，再由弦长公式，即可求出结果；（2）先由题意，得到，直线的斜率必存在，设直线为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，得到，再由，结合题意，求出，进而可得出结果．【详解】解：（1）把代入得：，所以（2）由题意可以，直线的斜率必存在，设直线为，有,所以，即直线AB过定点【点睛】本题主要考查椭圆的弦长，以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质，即可求解，属于常考题型.20、（1）（2）【解析】分析：（1）根据，，，可求得圆锥的母线长以及圆锥的底面半径，利用圆锥侧面积公式可得结果；（2）过作交于，连则为异面直线与所成角，求出，在直角三角形中，,从而可得结果.详解：（1）中，即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积故圆锥的全面积（2）过作交于，连则为异面直线与所成角在中，是的中点是的中点在中，，，即异面直线与所成角的大小为点睛：求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.21、（1）（2）在和内为减函数，在和内为增函数．【解析】（1）对求导得，因为在处取得极值，所以，即，解得；（2）由（1）得，，故，令，解得或，当时，，故为减函数，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，，故为增函数，综上所知：和是函数单调减区间，和是函数的单调增区间.22、（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）先设的中点为，利用平几知识证得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据等腰三角形性质得，再根据面面垂直性质定理得面，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：解：（1）如图1，设的中点为，连结，.在中，因为为的中点，所以，且，在三棱柱中，因为，且,为的中点，所以,且，所以，且,所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面.(法二)如图2，在侧面中，连结并延长交直线于点，连结.在三棱柱中，