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范钦珊教育与教学工作室材料力学(7)Sunday,July23,2023返回总目录清华大学范钦珊基础篇之七材料力学下一章上一章返回总目录第7章应力状态分析前面几章的分析结果表明，除了轴向拉伸与压缩外，杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还将证明，过同一点的不同方向面上的应力，一般情形下也是不相同的。第7章应力状态与强度理论及其工程应用本章将首先介绍应力状态的基本概念,描述一点应力状态的基本方法，分析过一点任意方向面上的应力以及这些应力的极大值和极小值。所谓应力状态（stress-state），是指过一点不同方向面上应力的总称。在分析方法上，除了介绍基于平衡原理的解析方法外，还将介绍基于解析结果的图解解析法－应力圆方法。第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力状态的基本概念平面应力状态任意方向面上的应力应力圆及其应用

结论与讨论应力状态中的主应力与最大剪应力广义胡克定律应变能与应变能密度

承受内压薄壁容器的应力状态应力状态的基本概念返回返回总目录第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用什么是应力状态？描述一点应力状态的方法为什么要研究应力状态应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用什么是应力状态？应力的点的概念——同一截面上不同点的应力各不相同应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用横截面上的正应力分布FNxFQ横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。横截面上的剪应力分布应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力的面的概念——过同一点不同方向面上的应力各不相同应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用FPFP受力之前,表面的正方形受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用受力之前,表面斜置的正方形受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉后，正方形变成了菱形。这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。FPFP应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用受扭之前，圆轴表面的圆这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。MxMx受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。这是为什么？应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用拉中有剪根据微元的局部平衡应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用剪中有拉根据微元的局部平衡应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用MxMx微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力指明哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力状态的概念——过同一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用为什么要研究应力状态？请看下列实验现象：

低碳钢和铸铁的拉伸实验

低碳钢和铸铁的扭转实验应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用低碳钢拉伸实验韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁拉伸实验应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？低碳钢扭转实验铸铁扭转实验应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用描述一点应力状态的方法微元及其各面上一点应力状态的描述

dxdydz微元（Element）应力状态的基本概念

描述一点应力状态的基本方法第7章应力状态与强度理论及其工程应用(Three-Dimensional

State

of

Stresses)三向（空间）应力状态yxz应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用

(

Plane

State

of

Stresses)平面（二向）应力状态xy应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用xyxy单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses)纯剪应力状态

(ShearingStateofStresses)应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用FPl/2l/2S平面

例题

1应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用123S平面

例应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用例题2FPlaS应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用xzy4321S平面例题2应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用yxzMz

FQyMx4321143应力状态的基本概念

第7章应力状态与强度理论及其工程应用第7章应力状态与强度理论及其工程应用平面应力状态任意方向面上的应力返回返回总目录

方向角与应力分量的正负号约定

微元的局部平衡平面应力状态中任意方向面上的正应力与剪应力平面应力状态任意方向面上的应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用拉为正压为负正应力平面应力状态任意方向面上的应力

方向角与应力分量的正负号约定第7章应力状态与强度理论及其工程应用使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。剪应力平面应力状态任意方向面上的应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用yxq方向角θ平面应力状态任意方向面上的应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用

由x正向反时针转到x'正向者为正；反之为负。平衡对象平衡方程tyx

参加平衡的量dAqx´y´——用

斜截面截取的微元局部——应力乘以其作用的面积平面应力状态任意方向面上的应力

微元的局部平衡第7章应力状态与强度理论及其工程应用xstyxx´dAq平面应力状态任意方向面上的应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用xstyxｙdAq平面应力状态任意方向面上的应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用xs利用三角倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：

平面应力状态任意方向面上的应力

平面应力状态中任意方向面上的正应力与剪应力第7章应力状态与强度理论及其工程应用例题1分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。

杆件承受轴向拉伸时，其上任意一点均为单向应力状态。根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式平面应力状态任意方向面上的应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式在本例的情形下，y＝0，yx＝0。

平面应力状态任意方向面上的应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用根据这一结果，当θ＝45º时，斜截面上既有正应力又有剪应力，其值分别为

不难看出，在所有的方向面中，45º斜截面上的正应力不是最大值，而剪应力却是最大值。这表明，轴向拉伸时最大剪应力发生在与轴线夹45º角的斜面上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。因此，可以认为屈服是由最大剪应力引起的。

平面应力状态任意方向面上的应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用例题2分析圆轴扭转时最大剪应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。圆轴扭转时，其上任意一点的应力状态为纯剪应力状态。根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式平面应力状态任意方向面上的应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式在本例的情形下，x＝y＝0。

平面应力状态任意方向面上的应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用可以看出，当θ＝45º或θ＝－45º时，斜截面上只有正应力没有剪应力。θ＝45º时(自x轴逆时针方向转过45º)，拉应力最大；θ＝－45º时(自x轴顺时针方向转过45º)，压应力最大：

进行铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力作用面（即－45º螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。

平面应力状态任意方向面上的应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力状态中的主应力与最大剪应力返回返回总目录第7章应力状态与强度理论及其工程应用

主平面、主应力与主方向

平面应力状态的三个主应力

面内最大剪应力过一点所有方向面中的最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力状态中的主应力与最大剪应力

主平面、主应力与主方向剪应力xy＝0的方向面，称为主平面（principalplane），其方向角用p表示。

第7章应力状态与强度理论及其工程应用将上式对求一次导数，并令其等于零，有

由此解出的角度角度与P具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性质，即当坐标系绕z轴(垂直于xy坐标面)旋转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用

根据剪应力成对定理，当一对方向面为主平面时，另一对与之垂直的方向面(＝P＋π/2)，其上之剪应力也等于零，因而也是主平面，其上之正应力也是主应力。

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用需要指出的是，对于平面应力状态，平行于xy坐标面的平面，其上既没有正应力，也没有剪应力作用，这种平面也是主平面。这一主平面上的主应力等于零。应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力状态中的主应力与最大剪应力

平面应力状态的三个主应力第7章应力状态与强度理论及其工程应用以后将按三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用表示，即应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力状态中的主应力与最大剪应力

根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量。第7章应力状态与强度理论及其工程应用x-y坐标系x´-y´坐标系xp-yp坐标系因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。用主应力表达的形式最简单也是最本质的。应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用由此得出另一特征角，用s表示对求一次导数，并令其等于零，得到

与正应力相类似，不同方向面上的剪应力亦随着坐标的旋转而变化，因而剪应力亦可能存在极值．为求此极值，将

面内最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用得到xy

的极值

需要特别指出的是，上述剪应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大剪应力（maximumshearingstressesinplane）与面内最小剪应力。二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值。

面内最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用为确定过一点的所有方向面上的最大剪应力，可以将平面应力状态视为有三个主应力（σ1、σ2、σ3）作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。

考察微元三对面上分别作用着三个主应力（σ1>σ2>σ3

0）的应力状态。

过一点所有方向面中的最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用考察微元三对面上分别作用着三个主应力（σ1>σ2>σ30）的应力状态。

过一点所有方向面中的最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用σx=σ3,σy=σ2，τxy＝0这就是Ⅰ组方向面内的最大剪应力。在平行于主应力σ1方向的任意方向面Ⅰ上，正应力和剪应力都与σ1无关。因此，当研究平行于σ1的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用在平行于主应力σ2方向的任意方向面Ⅱ上，正应力和剪应力都与σ2无关。因此，当研究平行于σ2的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：σx=σ1,σy=σ3，τxy＝0。

应力状态中的主应力与最大剪应力

这就是Ⅱ组方向面内的最大剪应力。第7章应力状态与强度理论及其工程应用σx=σ1,σy=σ2，τxy＝0。

在平行于主应力σ3方向的任意方向面Ⅲ上，正应力和剪应力都与σ3无关。因此，当研究平行于σ3的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：应力状态中的主应力与最大剪应力

这就是Ⅲ组方向面内的最大剪应力。第7章应力状态与强度理论及其工程应用一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者中最大的，即应力状态中的主应力与最大剪应力

过一点所有方向面中的最大剪应力第7章应力状态与强度理论及其工程应用例题1已知:应力状态如图所示。解：1.确定主应力

应用平面应力状态主应力公式试求：1．写出主应力1、2、3的表达式；

2．若已知x＝63.7MPa，xy=76.4

MPa，当坐标轴x、y反时针方向旋转=120后至x′、y′

，求:

x′、τx′y′

。

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用解：1.确定主应力

应用平面应力状态主应力公式因为y＝0，所以有又因为是平面应力状态，故有应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用于是，根据1＞2＞3的排列顺序，得

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用解：2.计算方向面法线旋转后的应力分量

将已知数据x＝63.7MPa，y＝0，xy＝－yx=76.4MPa，=120等代入任意方向面上应力分量的表达式

，求得：

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用例题2薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用（如图所示）。已知圆管的平均直径D＝50mm，壁厚δ＝2mm。外加力偶的力偶矩Me＝600N·m，轴向载荷FP＝20kN。薄壁管截面的扭转截面系数可近似取为

求：1．圆管表面上过D点与圆管母线夹角为30º的斜截面上的应力；

2.D点主应力和最大剪应力。

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用解：1．取微元，确定微元各个面上的应力围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和剪应力公式计算微元各面上的应力：

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用解：1．取微元，确定微元各个面上的应力利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和剪应力公式计算微元各面上的应力：

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用解：2．

求斜截面上的应力

在本例中有：

σx＝63.7MPa，σy＝0，

τxy＝一76.4MPa，θ＝120º。

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用解：2．

求斜截面上的应力

在本例中有：

σx＝63.7MPa，σy＝0，

τxy＝一76.4MPa，θ＝120º。

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用解：3．确定主应力与最大剪应力

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用解：3．确定主应力与最大剪应力

根据主应力代数值大小顺序排列，D点的三个主应力为D点的最大剪应力为

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用已知:三向应力状态如图所示，图中应力的单位为MPa。例题3试求：主应力及微元内的最大剪应力。应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用故微元上平行于的方向面上的应力值与无关。因此，当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主应力和时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。

解：所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用这与例题1中的平面应力状态相类似。于是，例题1中所得到的主应力和公式可直接应用解：所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用本例中x=－20Mpa，xy=－40MPa。据此，求得

应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用根据123的排列顺序，可以写出微元内的最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力圆及其应用返回返回总目录第7章应力状态与强度理论及其工程应用

应力圆方程

应力圆的画法

应力圆的应用应力圆及其应用

三向应力状态的应力圆第7章应力状态与强度理论及其工程应用

应力圆方程应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用ROC应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用

二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。

转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力；

应力圆的画法应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用点面对应CaA应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用xACaDnd2转向对应二倍角对应应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用

二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。

转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力；

应力圆的画法应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用OCa(sx,txy)BBb(sy,tyx)建立坐标系由面找点确定圆心和半径应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用ABAABBOCa(sx,txy)BBb(sy,tyx)建立坐标系由面找点确定圆心和半径应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用ABAABB再将上述过程重复一次在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。

应力圆的应用应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用sxsxtx'y'sx'o2×45º2×45ºBEADadCbeEEBB45º45º应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用Ctx'y'sx'o2×45º2×45ºadbesxsxEBEBsxsx应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用EBsxsx轴向拉伸时45º方向面上既有正应力又有剪应力，但正应力不是最大值，剪应力却最大。应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用otx'y'sx'2×45º2×45ºsy'＝tsx'＝－tBEDAttd(0,-t)Ca(0,t)eb应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用sy'＝tsx'＝－tBEDAttsy'＝tsx'＝－tBE应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用

在纯剪应力状态下，45º方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。DAttsy'＝tsx'＝－tBE应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用txysxsytyxtx'y'sx'oadAD主平面（principalplane）：t

=0,与应力圆上和横轴交点对应的面。CbePBPE2qp应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用sxsytyxADtxyPEPBsstx'y'sx'oadCbe2qpss主应力（principalstresses）：主平面上的正应力。应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用有几个主应力？tx'y'sx'oadCbess应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应力圆在坐标轴xy的右侧，因而′和″均为正值。这种情形不具有普遍性。当x＜0或在其他条件下，应力圆也可能在坐标轴xy的左侧，或者与坐标轴xy相交，因此′和″也有可能为负值，或者一正一负。应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用tx'y'sx'oadCbessadCbessadCbess主应力（principalstresses）：主平面上的正应力。应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用有几个主应力？tx'y'sx'oadCbess应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用tx'ysxoadCbess有几个主应力？应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用

主应力排序

s1s2

s32qptx'y'sx'oCbeadss应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用有几个主应力？对应应力圆上的最高点的面上剪应力最大，称为“面内最大剪应力”（maximumshearingstressinplane）。tx'y'sx'oCsst应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用

三向应力状态的应力圆考察微元三对面上分别作用着三个主应力（σ1>σ2>σ30）的应力状态。

应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用txysx由s2

、s3可作出应力圆

Is3s2IIs1s2s3

三向应力状态的应力圆应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用由s1

、s3可作出应力圆IIIIs1

s3IIIs2s3txysxOs2s3s1应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用IIItxysxOs3由s1

、s2可作出应力圆

IIIIIIs2s1IIIs2s1s3应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用s1IIIs3IIIs2Otxysx微元任意方向面上的应力对应着三个应力圆之间某一点的坐标。应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用平面应力状态作为三向应力状态的特例应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用

例题

6obatmax20030050(MPa)求：平面应力状态的主应力1、2

、3和最大切应力tmax。AB应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用Ob2005030050(MPa)tmax

例题

7求：平面应力状态的主应力1、2

、3和最大剪应力tmax。aAB应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用O300100(MPa)tmax例题

8求：平面应力状态的主应力1、2

、3和最大切应力tmax。abAB应力圆及其应用

第7章应力状态与强度理论及其工程应用C广义胡克定律返回返回总目录第7章应力状态与强度理论及其工程应用11横向变形与泊松比——泊松比1＋xyx1－x广义胡克定律

广义胡克定律第7章应力状态与强度理论及其工程应用三向应力状态的广义胡克定律——叠加法广义胡克定律

第7章应力状态与强度理论及其工程应用yzx对于平面应力状态，广义胡克定律为广义胡克定律

第7章应力状态与强度理论及其工程应用这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中，只有两个是独立的。

各向同性材料各弹性常数之间的关系广义胡克定律

第7章应力状态与强度理论及其工程应用

承受内压薄壁容器的应力状态返回返回总目录第7章应力状态与强度理论及其工程应用lptsmssm=?st

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承受内压薄壁容器的应力状态第7章应力状态与强度理论及其工程应用Ｄ

承受内压薄壁容器的应力状态第7章应力状态与强度理论及其工程应用Ｄpttt

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承受内压薄壁容器的应力状态第7章应力状态与强度理论及其工程应用ltsms

承受内压薄壁容器的应力状态第7章应力状态与强度理论及其工程应用例题

6为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变。若已知容器平均直径D＝500mm，壁厚＝10mm，容器材料的E＝210GPa，＝0.25。试求：容器所受的内压力。

承受内压薄壁容器的应力状态第7章应力状态与强度理论及其工程应用解：容器表面各点均承受二向拉伸应力状态。所测得的环向应变不仅与环向应力有关，而且与纵向应力有关。根据广义胡克定律，就有

承受内压薄壁容器的应力状态第7章应力状态与强度理论及其工程应用应变能与应变能密度返回返回总目录第7章应力状态与强度理论及其工程应用

总应变能密度

体积改变能密度与畸变能密度应变能与应变能密度

第7章应力状态与强度理论及其工程应用微元应变能(strainenergy)dydxdz力的作用点所产生的位移

总应变能密度应变能与应变能密度

第7章应力状态与强度理论及其工程应用dW

=力在位移上所做的功转变为微元的应变能=dV应变能与应变能密度

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应变能密度(strain-energydensity)应变能与应变能密度

第7章应力状态与强度理论及其工程应用+将一般应力状态分解为两种特殊情形

体积改变能密度与畸变能密度应变能与应变能密度

第7章应力状态与强度理论及其工程应用不改变形状，但改变体积不改变体积，但改变形状应变能与应变能密度

第7章应力状态与强度理论及其工程应用应变能与应变能密度

第7章应力状态与强度理论及其工程应用不改变形状，但改变体积V为体积改变能密度（strain-energydensitycorrespondingtothechangeofvolume）应变能与应变能密度

第7章应力状态与强度理论及其工程应用d为畸变能密度

(strain-energydensitycorrespondingtothedistortion)不改变体积，但改变形状