湖南省株洲市潇湘双语学校高三数学理联考试卷含解析

湖南省株洲市潇湘双语学校高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i为虚数单位，复数z满足，则在复平面内对应的点在（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D【分析】先利用复数的除法，求出复数z，再求共轭复数，然后判定所在象限.【详解】因为，所以，由于，所以复平面内对应的点在第四象限，故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数等，侧重考查数学运算的核心素养.2.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（

）

参考答案：B3.抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀骰子，“向上的两个数之和为3”的概率是A．

B．

C．

D．

参考答案：D4.与105有大于1的公约数的两位自然数的和是（

）（A）2078

（B）2295

（C）2708

（D）3338参考答案：C5.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数参考答案：D全称命题的否定式特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”选D.6.则

(

)A．<<B．

<<

C．

D．<<参考答案：C7.已知关于x的方程sinx+cosx﹣a=0有实数解，则实数a的取值范围是（） A．[﹣2，2] B． （﹣2，2） C． [﹣1，1] D． [﹣1﹣，1+]参考答案：略8.如果执行右面的算法语句输出结果是2，则输入的值是(

)A．0

B．或2

C．2

D．0或2参考答案：D若；若，所以输入的值是0或2。9.在数列中，，，则 A．

B．

C．

D．参考答案：A10.执行右边的框图，若输入的N是6，则输出p的值是A.120 B.720 C.1440 D.5040参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.实数x，y，k满足，z=x2+y2，若z的最大值为13，则k的值为

．参考答案：2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图；则k＞1，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，O到A的距离最大，∵z=x2+y2的最大值为13，∴O到A的距离最大为d=，由，即，即A（k，k+1），则OA==，即2k2+2k+1=13，即k2+k﹣6=0，解得k=2或k=﹣3（舍），故k=2，故答案为：2点评：本题主要考查线性规划以及点到直线的距离的应用，利用数形结合是解决本题的关键．12.函数的最小正周期是

.参考答案：2略13.已知全集，集合，则=

▲

.参考答案：{1}14.已知函数（其中e为自然对数的底数）为偶函数，则实数a的值为____．参考答案：1【分析】利用恒成立可得实数的值．【详解】因为为偶函数，所以恒成立即，整理得到恒成立，故，填.【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用（或）恒成立来求参数的大小.15.已知x＞0，y＞0，xy=x+2y，则x+2y的最小值为

；则xy的最小值为

．参考答案：8,8.【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：x＞0，y＞0，xy=x+2y，∵x+2y≥，当且仅当x=2y时取等号．即xy≥2可得：（xy）2≥8xy，∴xy≥8∴xy的最小值为8．同理：x+2y≥，当且仅当x=2y时取等号．∵xy≥8∴x+2y≥8．∴x+2y的最小值为8．16.设，，则的最小值为______.参考答案：【分析】利用乘“”法化简所求表达式，再利用基本不等式求得最小值.【详解】依题意，所以，当且仅当时等号成立.故填.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查“1”的代换，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17.四棱锥的三视图如图所示,四棱锥的五个顶点都在一个球面上，、分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球表面积为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知圆C的方程为：，直线的方程为：。（1）求m的取值范围；（2）若圆与直线交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值。

参考答案：（1）将圆的方程化为标准方程：依题意得：，即，故m的取值范围为（2）设点P（）、点Q（）由题意得：OP、OQ所在的直线互相垂直，则，即

又，………………①将直线的方程：代入圆的方程得：，代入①式得：，解之得：故实数m的值为3

略19.选修4-5：不等式选讲设函数。（1）解不等式；（2）若，使得，求实数m的取值范围。参考答案：（1）当x<-2时，，，即，解得，又，∴；当时，，，即，解得，又，∴；当时，，，即，解得，又，∴.

……3分综上，不等式的解集为.

……5分（2）∴.

……8分∵，使得，∴，整理得：，解得：，因此m的取值范围是.

……10分20.已知函数f(x)=|ax2-(a+1)x+1|(a∈R). (1)当a=时,求函数f(x)在[0,2]上的单调区间; (2)当0≤a≤1时,对任意的x∈[0,2],m≥f(x)恒成立,求实数m的最小值. 参考答案：(1)当a=时,f(x)=|x2-x+1|=|x2-4x+3|=|(x-2)2-1|, 可知函数f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,2]上单调递增. (2)①当a=0时,f(x)=|x-1|在[0,2]上的最大值为1. ②当0<a≤1时,对称轴为x=>0,Δ=(a-1)2≥0, 若≥2,即0<a≤时,f(x)max=max{|f(0)|,|f(2)|}=max{1,|2a-1|}, 而|2a-1|<1,所以f(x)max=1. 若<2,即<a≤1时, f(x)max=max{|f(0)|,|f()|,|f(2)|}=max{1,,|2a-1|}, 又<a≤1,<1,|2a-1|≤1,所以f(x)max=1. 综上,m≥1,所以实数m的最小值为1. 本题以绝对值函数为载体,考查函数的单调性与最值等,意在考查分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.第(1)问当a=时,化简函数f(x)的解析式,结合函数f(x)的大致图象即可求出单调区间;第(2)问考查函数的最值,关键是数形结合,对a=0,0<a≤<a≤1分类讨论求解. 【备注】二次函数与绝对值函数作为重要的函数模型,具有重要的应用价值.二次函数是永恒的经典,高考中的二次函数问题,基本上都要突出函数与方程思想的运用,体现了“用最朴素的材料,考查最基本的方法”这一命题思想,同时追求一定的综合性,因此,加强二次函数综合题的训练显得特别重要,在复习时应加以重视. 21.如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）已知点D是平面ABC内一点，且四边形ABCD为平行四边形，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【分析】（1）取AC中点O，连结AO，BO，摔倒导出BO⊥面A1ACC1，AO⊥面ABC，由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．（2）点P与A1重合时，连结AD，CD，A1D，推导出四边形A1B1CD是平行四边形，从而A1D∥B1C，由此得到DP∥平面AB1C．【解答】解：（1）取AC中点O，连结AO，BO，∵在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC．∴BO⊥面A1ACC1，∴BO⊥AO，A1C=A1A，∴AO⊥AC，∴AO⊥面ABC，∴AO=BO==，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC?AO===3．（2）点P与A1重合时，DP∥平面AB1C．证明如下：连结AD，CD，A1D，∵四边形ABCD为平行四边形，∴A1B2ABCD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵B1C?平面AB1C，A1D?平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，∴DP∥平面AB1C．【点评】本题考查三棱