江西省吉安市井冈山学院附属中学高三数学理测试题含解析

江西省吉安市井冈山学院附属中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则的最小值为(

)A．2

B．4

C．

D．参考答案：B2.已知集合则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.函数f(x)=log5(x2+1),

x∈[2,+∞的反函数是

（

）

A．g(x)=(x≥0)

B．g(x)=(x≥1)

C．g(x)=(x≥0)

D．g(x)=(x≥1)

参考答案：答案：D4.已知实数x，y满足线性约束条件，则的取值范围是（

）A.(－2,－1] B.(－1,4] C.[－2,4) D.[0,4]参考答案：B【分析】根据条件画出如图可行域，得到如图所示的阴影部分．设，可得表示直线与可行域内的点连线的斜率，得到斜率的最小、斜率最大，即可得到的取值范围．【详解】作出实数，满足线性约束条件表示的平面区域得到如图所示的及其内部的区域，其中，，设为区域内的动点，可得表示直线、连线的斜率，其中运动点，可得当与点重合时，最大值，当直线的斜率为；综上所述，的取值范围为，．故选：．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．5.O是坐标原点，点A（﹣1，1），点P（x，y）为平面区域的一个动点，函数f（λ）=|﹣λ|（λ∈R）的最小值为M，若M≤恒成立，则k的取值范围是(

)A．k≤1 B．﹣1≤k≤1 C．0≤k≤3 D．k≤1或≥3参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；分类讨论；转化思想；数形结合法；分类法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】画出满足条件的可行域，分析出函数f（λ）的最小值为M≤恒成立表示可行域内的点到直线OA：x+y=0的最大距离不大于，结合可行域的图象，分类讨论，可得答案．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：函数f（λ）=|﹣λ|（λ∈R）表示P点到直线OA上一点的距离，若函数f（λ）的最小值为M≤恒成立，则仅需可行域内的点到直线OA：x+y=0的最大距离不大于即可，若k≥2，则不存在满足条件的点，若k＜2，则存在B点（，）到直线OA：x+y=0的距离最远，此时d=≤，解得：k≤1，故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，关键是对题意的理解，是难题．6.函数，下列结论不正确的（

）此函数为偶函数．

此函数是周期函数．

此函数既有最大值也有最小值．

方程的解为．参考答案：D7.某班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示。若高校某专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报高校该专业的人数为

A．10 B．20

C．8 D．16参考答案：A8.设是等差数列的前n项和，若

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知的图象是顶点在原点的抛物线，且方程有一个根，则不等式的解集是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.已知点．．．，则向量在方向上的投影为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A：因为所以，，则向量在方向上的投影为，所以选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果复数的实部与虚部互为相反数,则=

.参考答案：1

略12.定义：表示不超过实数的最大整数，如，，并定义.如，，有以下命题：①函数的定义域为值域为；②方程有无数多个解；③函数为周期函数；④关于实数的方程的解有3个.其中你认为正确的所有命题的序号为

．参考答案：②③④13.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为

．

一年级二年级三年级女生373男生377370

参考答案：16略14.在等差数列中，，则此数列前9项的和

参考答案：2715.已知等差数列满足，，，则的值为

参考答案：1016.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为

．（最后结果精确到整数位）

气温x181310－1用电量y2434·64

参考答案：3817.设d为等差数列{an}的公差，数列{bn}的前n项和Tn，满足（），且，若实数（，），则称m具有性质，若是数列的前n项和，对任意的，都具有性质，则所有满足条件的k的值为________.参考答案：3或4【分析】讨论的奇偶两种情况得到，进而得到，再计算得到，根据，计算，代入不等式得到，得到答案.【详解】数列的前项和，满足，代入计算得到；，，相减得到：当为奇数时：当为偶数时：综上所述：故所以，故，即恒成立.综上所述：故或故答案为：或4【点睛】本题考查了数列的通项公式，前N项和，恒成立问题，将数列的恒成立问题转化为数列的最值问题是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．（1）求y关于v的函数关系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；（2）利用基本不等式可得，时取等号，再结合c≤v≤15（c＞0），即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少．【解答】解：（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），返回水面用时（单位时间），用氧量为（升），∴总用氧量（v＞0）．（2），令y'=0得，在时，y'＜0，函数单调递减，在时，y'＞0，函数单调递增，∴当时，函数在上递减，在上递增，∴此时时用氧量最少．当时，[c，15]上递增，此时v=c时，总用氧量最少．19.甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f（n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．参考答案：【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元，由此能求出甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式f（n），g（n）．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为45，从而乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为115元，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．由此推荐小赵去乙快递公式应聘．【解答】解：（1）甲快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y=70+n，n∈N+，∴f（n）=y=70+n，n∈N+．乙快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：．∴g（n）=．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，，，所以X的分布列为：X100106118130P0.20.30.40.1②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45，所以乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为70+45×1=115（元），由①知，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．故推荐小赵去乙快递公式应聘．20.我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准。为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调査，获得了n个家庭某年的用水量(单位：立方米）.统计结果如下表所示。

(I)分别求出n，a，b的值；(II)若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；(Ⅲ)从样本中年用水量在[50,60](单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的跟踪研究，求年用水里最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）。参考答案：（Ⅰ）用水量在内的频数是50，频率是，则.

……………2分用水量在内的频率是，则.

用水量在内的频率是，则.

……………4分（Ⅱ）估计全市家庭年均用水量为……………7分（Ⅲ）设A，B，C，D，E代表年用水量从多到少的5个家庭，从中任选3个，总的基本事件为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD,

BCE,BDE,CDE共10个,其中包含A的有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE共6个.

…………10分所以.

即年用水量最多的家庭被选中的概率是

……………12分21.（本题12分）已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率且经过点.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设平行于的直线交椭圆于两个不同点,直线与的斜率分别为；1

若直线过椭圆的左顶点，求的值；②试猜测的关系；并给出你的证明.参考答案：21.(Ⅰ)设椭圆方程为，依题意有：，解得，所以椭圆的方程为.(Ⅱ)①若直线过椭圆的左顶点且直线平行于，则直线的方程是，联立方程组，解得，故.②因为直线