广东省佛山市西南街道第七高级中学高三数学理上学期摸底试题含解析

广东省佛山市西南街道第七高级中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元），其中支出在（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如右图所示，则的值为…………（）A．100 B．120C．130 D．390参考答案：A略2.复数等于(

)A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：===2﹣i，故选D．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A．2

B．3

C．4

D．8参考答案：D抛物线的焦点是，椭圆的焦点是，∴，∴.

4.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（

）． A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②参考答案：D在坐标中，标出已知点，可知选择④和②，∴选择．5.有六名同学数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1～6号，得第一名者将参加全国数学竞赛。今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：不是1号就是2号；乙猜：3号不可能；丙猜：4号、5号、6号都不可能；丁猜：是4号、5号、6号中的某一个。以上只有一个人猜测对，则他应该是（A）甲

（B）乙

（C）丙

（D）丁

参考答案：C6.已知α，β为锐角△ABC的两个内角，x∈R，f（x）=（）|x﹣2|+（）|x﹣2|，则关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（）A．（﹣∞，）∪（2，+∞） B．（，2） C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） D．（﹣，2）参考答案：B【考点】其他不等式的解法．【分析】由已知α，β为锐角△ABC的两个内角，得到cosβ=sin（90°﹣β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，从而得到函数在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，利用此单调性将f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0转化为不等式∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|解之即可．【解答】解：∵α，β为锐角△ABC的两个内角，可得α+β＞90°，cosβ=sin（90°﹣β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，∴f（x）=（）|x﹣2|+（）|x﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；故选：B．7.若数列的前n项和为，则下列命题：

（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；

（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；

（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是

（4）若是等比数列，则的充要条件是

其中，正确命题的个数是

（

）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：B8.已知，，，则a、b、c的大小关系为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据对数函数的图象与性质，求得，，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据对数的性质，可得，，又由，，因为，所以，可得，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9.已知点A（0，1），动点P（x，y）的坐标满足y≤|x|，那么|PA|的最小值是（）A． B． C． D．1参考答案：B【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出平面区域，根据图形找出PA的最小值．【解答】解：作出平面区域如图，则|PA|的最小值为A（0，1）到直线x﹣y=0的距离d==．故选：B．10.设集合，且，那么实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知非零向量，满足，则向量与的夹角为__________．参考答案：略12.已知△FAB，点F的坐标为（1,0），点A，B分别在图中抛物线y2＝4x及圆（x－1）2＋y2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，，则△FAB的周长的取值范围是＿＿＿＿参考答案：13.已知随机变量满足正态分布，且P，P，则P()=__________

．参考答案：【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．I30.1

解析：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＜2）=0.6，∴P（0＜ξ＜1）=0.6﹣0.5=0.1，故答案为0.1.【思路点拨】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到P（0＜ξ＜1）．14.如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若，且点D在圆C上，则_____．参考答案：【分析】由向量加法的概念以及可得四边形为菱形，且，再由向量数量积的定义即可得结果.【详解】∵，∴四边形为平行四边形，又∵，∴，∴，故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，得到四边形为一个内角为的菱形是解题的关键，属于基础题.15.下列命题中不正确的是

（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线，②分别和两条异面直线都相交的两直线异面，③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行，④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面。参考答案：16.若实数满足，则的最小值是

．参考答案：，得，（时取等号）．17.已知向量=（1，2），=（λ，﹣1），若⊥，则|+|=．参考答案：【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由⊥，求出=（2，﹣1），再由不、平面向量坐标运算公式求出=（3，1），由此能求出||．【解答】解：∵向量=（1，2），=（λ，﹣1），⊥，∴?=λ﹣2=0，解得λ=2．∴=（2，﹣1），=（3，1），∴||==．故答案为：．【点评】本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质和平面向量坐标运算公式的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)如图，在四棱锥中，是矩形，平面，，点是的中点，点在上移动．(1)求三棱锥的体积；（4分）(2)当点为的中点时，试判断与平面的关系，并说明理由；（4分）(3)求证：（6分）

参考答案：(1)证明：∵平面，

……

1分∴＝

……4分

(2)解：当点为的中点时，∥平面.……5分理由如下：∵点分别为的中点，∴∥.

……6分又∵?平面，平面，∴∥平面.

……8分(3)证明：∵平面,?平面,.∵是矩形，∴.

∵∩，∴.

……10分∵,∴.

……11分∵=，点是的中点，∴.又∩，∴.

……13分∵∴.

……14分19.设函数．Ⅰ讨论函数的单调性．Ⅱ若有两个极值点和，记过点，的直线斜率为．问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：见解析解：Ⅰ由题意得的定义域为，，令，其判别式．①当时，，恒成立，故在上单调递增．②当时，，的两根都小于，所以在上，，故在单调递增．③当时，，的两根为，，当时，，当时，，当时，，故要和上单调递增，在上单调递减．Ⅱ由Ⅰ知，，∵，∴斜率，又由Ⅰ知，，于是，若存在，使得，则有，即，又∵，∴，即①，再由Ⅰ知，函数在上单调递增，而，∴，这与①式矛盾，故不存在，使得．20.已知λ∈R，函数f（x）=λex﹣xlnx（e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）若f（1）=0，证明：曲线y=f（x）没有经过点的切线；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域上不单调，求λ的取值范围；（Ⅲ）是否存在正整数n，当时，函数f（x）的图象在x轴的上方，若存在，求n的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线方程，化简得：，令，根据函数的单调性判断方程无解，从而证明结论即可；（Ⅱ）分离参数，得，令（x＞0）．根据函数的单调性求出参数的范围即可；（Ⅲ）法一：问题等价于．令（x＞0），根据函数的单调性求出F（x）的最小值，从而证明结论即可；法二：问题等价于λ＞的最大值；当x∈（0，1]，得到恒成立，当x∈（1，+∞）时，，根据函数的单调性求出P（x）的最大值，从而证明结论．【解答】解证：（Ⅰ）因为f（1）=0，所以λ=0，此时f（x）=﹣xlnx，证法一：设曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线经过点则曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0）所以化简得：…令，则，所以当时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，所以，所以无解所以曲线y=f（x）的切线都不经过点…（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），因为f'（x）=λex﹣（1+lnx），所以f（x）在定义域上不单调，等价于f'（x）有变号零点，…令f'（x）=0，得，令（x＞0）．因为，令，，所以h（x）是（0，+∞）上的减函数，又h（1）=0，故1是h（x）的唯一零点，…当x∈（0，1），h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）递增；当x∈（1，+∞），h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）递减；故当x=1时，g（x）取得极大值且为最大值，所以，即λ的取值范围是…（Ⅲ）证法一：函数f（x）的图象在x轴的上方，即对任意x＞0，f（x）＞0恒成立．f（x）＞0?．令（x＞0），所以…（1）当n=1时，，即①当0＜x≤1时，F'（x）＜0，F（x）是减函数，所以F（x）≥F（1）=λe＞0；②当x＞1时，，令，则，所以G（x）是增函数，所以当x≥2时，，即F'（x）≥0所以F（x）在[2，+∞）上是增函数，所以，当x∈（1，2）时，取m∈（1，2），且使，即，则，因为G（m）G（2）＜0，故G（x）存在唯一零点t∈（1，2），即F（x）有唯一的极值点且为最小值点t∈（1，2）…所以，又，即，故，设，因为，所以r（t）是（1，2）上的减函数，所以r（t）＞r（2）=1﹣ln2＞0，即[F（x）]min＞0所以当时，对任意x＞0，f（x）＞0恒成立…（2）当n≥2时，，因为，取，则，，所以f（x）＞0不恒成立，综上所述，存在正整数n=1满足要求，即当时，函数f（x）的图象在x轴的上方…证法二：f（x）＞0恒成立，等价于λ＞的最大值；当x∈（0，1]，，所以恒成立…当x∈（1，+∞）时，，，设，，所以q（x）在（1，+∞）上是减函数，因为q（2）=1﹣ln2＞0，，所以q（x）有唯一零点t∈（2，3）…当x∈（1，t）时，q（x）＞0，即P'（x）＞0，P（x）是增函数，当x∈（t，+∞）时，q（x）＜0，即P'（x）＜0，P（x）是减函数，所以，且，所以所以…设，t∈（2，3）所以，所以M（t）在（2，3）上是减函数，所以M（3）＜M（t）＜M（2），即…因为使f（x）＞0，所以，只有n=1符合要求，综上所述，存在正整数n=1满足要求，即当时，函数f（x）的图象在x轴的上方…21.（本小题满分10分）设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。参考答案：解析：由，易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里