实验十二矩阵的秩和向量组的最大线性无关组

实验十二矩阵的秩和向量组的最大线性无关组第1页，课件共13页，创作于2023年2月212.1矩阵的秩矩阵的秩的命令:rank(A)例1已知M=求M矩阵的秩.M=[32-1-3-2;2-131-3;705-1-8];rank(M)ans=2第2页，课件共13页，创作于2023年2月例２已知矩阵M＝的秩为２，求常数t的值．symstM=[32-1-3;2-131;70t-1];det(M(1:3,1:3))；%提出矩阵M中的前三行前三列输出结果-7*t+35，令-7*t+35=0所以t=5注意：因为远矩阵的秩为２所以所有高于２阶的子式全为０，所以这里取的三阶子式为０可解出．第3页，课件共13页，创作于2023年2月12.２矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换命令为:rref(A)例３已知A=，证明A可逆，并用初等行变换求A的逆．A=[123;221;343];E=eye(3);AE=[A,E]M=rref(AE)invA=M(:,[4,5,6])第4页，课件共13页，创作于2023年2月1２.３向量组的秩和最大线性无关组例4、求向量组a=(12-11),b=(0-45-2),c=(2030)的秩．并判断是否线性相关？

A=[12-11;0-45-2;2030];rref(A)ans=1.000001.500000 1.0000-1.25000.50000 0 00所以得到秩为２（非零的行数）线性相关注意：向量组的秩小于向量组中向量的个数所以线性相关；若向量组的秩等于向量组中向量的个数则线性无关．第5页，课件共13页，创作于2023年2月例５求向量组a=(1-124),b=(0312),c=(30714),d=(1-120)e=(2150)的最大线性无关组.A=(1-124;0312;30714;1-120;2150];B=transpose(A);reff(B)ans=1.000003.00000-0.50000 1.00001.000001.00000001.00002.5000

00000则可以从列中看出a,bd为最大线性无关组注意：若要判断两个矩阵是否等价，只需要把两个矩阵利用初等行变换命令reff都化为最简标准型，若最后的标准型相同则等价，否则不等价(P114例9)．第6页，课件共13页，创作于2023年2月71２.4求齐次线性方程组AX=0的基础解系求齐次线性方程组AX=0的基础解系命令为:null(A)例6,求解线性方程组clearA=[11-2-1;3-2-22;0573;2-3-5-1];D=det(A);X=null(A)注意：若系数矩阵的秩小于未知数个数，则基础解系存在且有无穷多解：若系数矩阵的秩等于未知数个数，则基础解系不存在只有零解．第7页，课件共13页，创作于2023年2月8输出结果D=0X=0.4714-0.23570.4714-0.7071注意；此时X为基础解系，并且基础解系中只有一个解向量而且X不但为基础解系，并且为标准正交基（即正交化，标准化）程序二clearA=[11-2-1;3-2-12;0573;2-3-5-1];D=det(A);A=sym(A);X=null(A)输出结果X=1-1/21-3/2注意；此时X为基础解系，但不为标准正交基第8页，课件共13页，创作于2023年2月12.5非齐次线性方程组的特解非齐次线性方程组中若系数矩阵r(A)和增广矩阵r(A,b)的秩相等，方程组有解，并且若r(A)=r(A,b)<n则非齐次线性方程组无穷多解．r(A)=r(A,b)＝n则非齐次线性方程组有唯一的解；齐次线性方程组中若系数矩阵r(A)和增广矩阵r(A,b)的秩不相等，方程组有无解（n为未知数的个数）第9页，课件共13页，创作于2023年2月10例７求解线性方程组clearA=[11-2-1;3-2-12;0573;2-3-5-1];D=det(A)b=transpose([4,2,-2,4]);rank(A)；rank(A,b)第10页，课件共13页，创作于2023年2月输出结果ans=3ans=3说明系数矩阵和增广矩阵的秩相等都为３，所以方程组有解继续编程求解formatrat

%format是格式化命令，表示以有理格式输出rref([A,b])输出结果

1002/31

010-1/31

0012/3-1

00000第11页，课件共13页，创作于2023年2月说明原非齐次线性方程组化为说明为自由未知量，所以令这样解锝原非齐次线性方程组的一个特解为注意：在Matlab7.0以上的版本中，可以用linsolve(A,b)求非齐次线性方程组的一个特解第12页，课件共13页，创作于2023年2月小结，作业本