高考数学一轮复习-几何证明选讲课件-理-新人教A版选修4-1

最新考纲1.了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理.4.理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；5.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.知

识

梳

理1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理

如果一组

在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也

. (2)平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的

成比例. ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的

成比例.平行线相等对应线段对应线段2.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应

的两个三角形相似. ②两边对应

并且夹角

的两个三角形相似. ③三边对应

的两个三角形相似. (2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于

. ②相似三角形周长的比等于

. ③相似三角形面积的比等于

.相等成比例相等成比例相似比相似比相似比的平方3.直角三角形的射影定理两直角边斜边斜边AD·BDAD·ABBD·AB4.圆中的角 (1)圆周角定理及其推论

①定理：圆上一条弧所对的

等于它所对的

的一半. ②推论：(ⅰ)推论1：同弧或等弧所对的

相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的

也相等. (ⅱ)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是

；90°的圆周角所对的弦是

. (2)圆心角定理：圆心角的度数等于

. (3)弦切角定理：弦切角等于它

所对的圆周角.圆周角圆周角圆心角弧直角直径它所对弧的度数所夹的弧5.圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线

经过

的半径.(2)推论：①推论1：经过

且垂直于切线的直线必经过

.②推论2：经过

且垂直于切线的直线必经过

.垂直于切点圆心切点切点圆心6.圆中的切线、割线定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝(2)△ACP∽(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角PC·PD△BDP割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝(2)△PAC∽(1)求线段PA、PB、PC、PD之一(2)应用相似求AC、BD切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝(2)△PAB∽(1)PA、PB、PC知二可求一(2)求AB、AC切线长定理PA、PB是⊙O的切线(1)PA＝(2)∠OPA＝(1)证线段相等，已知PA求PB(2)求角PC·PD△PDBPB·PC△PCAPB∠OPB7.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理1：圆内接四边形的对角

. ②定理2：圆内接四边形的外角等于它的

. (2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理：如果一个四边形的对角

，那么这个四边形的四个顶点共圆. ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的

，那么这个四边形的四个顶点共圆.互补内对角互补对角诊

断

自

测A3.(2015·重庆卷)如图，圆O的弦AB，CD

相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的

延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9， PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________.答案24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.解析连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°.答案125°答案8考点一相似三角形的判定及性质【例1】

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，ED、CB的延长线交于一点F.

求证：FD2＝FB·FC.规律方法(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边.证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题.(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等.解(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°，图1知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.(2)法一连接BE，如图1所示，由(1)知∠EAB＝60°＝∠CBA，AB为公共边，则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.图2法二连接EC，OC，如图2所示，则由弦切角定理，知∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝BC＝3.规律方法(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小.(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角.(1)证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角.所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.考点三与圆有关的比例线段【例3】

(2014·新课标全国Ⅱ卷)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.

证明：(1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB，由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.规律方法涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理.(2)解由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.规律方法(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.【训练4】

如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.

求证：(1)B，D，H，E四点共圆；(2)EC平分∠DEF.证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°，于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠B＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆.(2)连接BH，则BH为∠ABC的角平分线，∠HBD＝30°，由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°，因为AE＝AF，AD为角平分线，所以EF⊥AD，又∠AHE＝∠EBD＝60°，所以∠CEF＝30°，所以EC平分∠DEF.[思想方法]1.解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决.2.证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似.另外也可利用平行线分线段成比例定理来证