第讲复数在电工中的简单应用教学课件

第讲复数在电工中的简单应用46、法律有权打破平静。——马·格林47、在一千磅法律里，没有一盎司仁爱。——英国48、法律一多，公正就少。——托·富勒49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处罚才能使犯罪得到偿还。——达雷尔50、弱者比强者更能得到法律的保护。——威·厄尔第讲复数在电工中的简单应用第讲复数在电工中的简单应用46、法律有权打破平静。——马·格林47、在一千磅法律里，没有一盎司仁爱。——英国48、法律一多，公正就少。——托·富勒49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处罚才能使犯罪得到偿还。——达雷尔50、弱者比强者更能得到法律的保护。——威·厄尔第10讲---复数在电工中的简单应用1.正弦量的瞬时表达式2.正弦量的相量表达式3.RLC串联电路中的复阻抗4.复功率2学习目标1．掌握正弦量的复数表示形式，并进行计算；2．会运用复功率计算有功功率、无功功率和视在功率的计算；32.正弦量的相量表达式

由于利用瞬时表达式表示交流电量比较烦琐，尤其在分析计算交流电路时，一般要解微积分方程，十分不便。为使表示方法和求解电路简便，引入相量表示方法。相量表示是从复数表示和计算中引申出来的。我们现在就试图用复数的形式来表示正弦量。6

一个正弦量由三要素来确定，分别是频率、幅值和初相。因为在同一个正弦交流电路中，电动势、电压和电流均为同频率的正弦量，即频率是已知或特定的，可以不必考虑。只需确定正弦量的幅值(或有效值)和初相位就可表示正弦量。而一个复数的四种表达方式均要用两个量来描述。不妨用它的模代表正弦量的幅值或有效值，用幅角代表正弦量的初相，于是得到一个表示正弦量的复数，这就是正弦量的相量表示法。7

相量表示方法为：用复数的模值对应地表示正弦量的振幅(或有效值)；用复数的幅角对应地表示正弦量的初相，任何一个正弦量都可以对应这样的一个复数，而我们就把这个与正弦量相对应的复数称为正弦量的相量，简称相量。换句话说正弦量的相量就是特指用复数来表示的、与正弦量具有一一对应关系的复数。为了区别与一般复数的不同，相量头顶要带上标记“·”，如。

一个正弦量的相量，就是在给定角频率ω条件下，用它的有效值（也可用最大值）和初相角这两个要素来表示的量。在概念上关于相量应明确如下几点：8(1)正弦量的相量，用有效值和初相角表示时，称为有效值相量；用最大值和初相角表示时，称为最大值相量或振幅相量。(2)所谓相量法是用相量这一特殊复数来表示正弦量，从而将正弦量的运算转化为复数运算的方法。正弦量的相量不仅仅是时间t的函数，还是一个复数。(3)将正弦量用相量表示实质上是一种数学变换。一个相量可以充分表达正弦量的三要素，只是由于电路中各量的频率相同而省掉了频率而已。相量仅为正弦量的一种表示方法，相量并不等于正弦量。(4)引入相量法的目的是为了简化正弦稳态电路的分析计算，相量只能用来进行同频率正弦电源电路的分析计算。注意，今后若不特别说明，相量均指有效值相量。9若正弦电压为正弦电流为有效值相量是以正弦量的有效值I或U为模、初相角φ为辐角，记为最大值相量是以正弦量的最大值Im或Um为模、初相角φ为辐角，记为其中,U表示电压有效值，Um表示电压最大值或振幅,I表示电压有效值，Im表示电压最大值或振幅10例1:已知对称三相正弦电压可表示为：试证明其相量之和恒等于零。（教材P85第8题）证明：因为电压的相量分别为讲解例题

11例2:请写出正弦量u=311sin(314t

30°)V，

i=4.24sin(314t

45°)A相量形式。解：(1)正弦电压u的有效值为U=0.7071311=220V初相角为φ=30°所以其相量为(2)正弦电流i的有效值为

=0.70714.24=3A初相角为φ=-45°所以其相量为讲解例题

12讲解例题

例3：如图所示为电路中的一个节点，已知，试求i3。解：电流i1、i2对应的相量形式分别为所以而即13

复数形式的电阻和电抗称为复阻抗。相量分析法中的复阻抗的模对应正弦交流电路中的电阻和电抗，例如单一电阻元件电路的复阻抗为R，是一个只有实部没有虚部的复数；单一电感元件电路的复阻抗是jXL，是没有实部，只有正值虚部的复数；单一电容元件电路的复阻抗是－jXC，是没有实部，只有负值虚部的复数。复阻抗的模值对应正弦交流电路的阻抗；复阻抗的幅角对应正弦交流电路中电压与电流的相位差角。。3.RLC串联电路中的复阻抗14电路中的容抗为电路中的感抗为RLC串联电路中的复阻抗为其中ω为角频率，ｆ为频率，15讲解例题

例4：如图所示，已知R＝100Ω，L＝0.5H，f=50Hz，C=30μF，计算总复阻抗Z和总阻抗｜Z|,并把结果化为复数的三角形式。(教材P76例14）～解：所以总阻抗为由得，代入得16讲解例题

例5：一个100μF的电容器接在电压为10V的正弦电源上，当电源频率为50Hz时，试写出电容元件中电流的瞬时值表达式。

解：当f=50Hz时，容抗为由题意得，电源电压的有效值表示为故所以即17讲解例题

例6：如图所示电阻、电感串联电路中，已知正弦电流试求uR、uL、u。（P84例15）解：正弦电流的相量为电感元件的感抗为电阻电压为电感电压为则即18练习

（教材P87第4题）1、把一个R＝11Ω的电阻接在电压的电源上，求电流的相量式。2、一个感抗XL＝20Ω的电感线圈接在（教材P87第5题）的电源上，求电流的相量。3、已知求i=i1+i2的解析式。（教材P87第6题）194.复功率由此可看出，复功率的模为视在功率，其单位是伏安（VA），而复功率角为电压相量和电流相量之间的夹角，就是功率因数角。定义：电压相量

与电流共轭相量

之乘积。一般用表示，即其中这样20复功率还可以用负载阻抗Z表示，负载阻抗Z为：所以，代入得21又因为，则显然P和Q分别为复功率的实部和虚部：P是平均功率或有功功率，它取决于负载的电阻R，而Q是无功功率(或正交功率)，它取决于负载的电抗部分X。22比较两式得：有功功率P是传送到负载上去的平均功率，单位是瓦特，它是负载实际消耗的功率，是有用功。无功功率Q是电源与负载电抗部分能量交换的一个度量，单位是乏(VAR)，用以区别有功功率瓦特的单位。无功功率也是在负载和电源之间来回转换，在转换过程中没有损耗。无功功率注意如下3点：1、Q=0，是电阻负载(pf=1)。2、Q＜0，是电容性负载(超前pf)。3、Q＞0，是电感性负载(滞后pf)。23总之，复功率的引入使我们可以由电压相量和电流相量直接得到有功功率和无功功率。复功率：视在功率：有功功率：无功功率：24表示、P和Q三者关系的一种习惯做法是三角形表示法，称作功率三角形，如图所示，它与表示Z，R，X关系的阻抗三角形类似。功率三角形有四项：视在/复数功率、有功功率、无功功率和功率因数角。给出其中的两相，另两项就可以很方便的由三角形得到。无功功率注意如下3点：1、Q=0，是电阻负载。2、Q＜0，是电容性负载。3、Q＞0，是电感性负载。25实部为平均功率、虚部（或负虚部）为无功功率的复数量，是以相量法分析正弦电流电路时常涉及到的一个辅助计算量。由于正弦电流电路中的有功功率、无功功率、和视在功率三者之间是一个直角三角形的关系，可以通过“复功率”来表示。复功率是一个辅助计算功率的复数，它将正弦稳态电路的三种功率和功率因素统一为一个公式表达，只要计算出电路中电压和电流向量，各种功率就可以很方便地计算出来。引人复功率这一概念给电力网的潮流计算带来很多方便，在谐波潮流计算中也多引用谐波复功率进行分析计算。26复功率是正弦交流分析相量法中的一个辅助计算量，它实际上是功率三角形的算数表示式，用来分析计算正弦交流电路中的有功功率和无功功率。它将正弦稳态电路的三种功率和功率因素统一为一个公式表达，只要计算出电路中电压和电流相量，各种功率就可以很方便地计算出来。在工程实际中，引人复功率这一概念给电力网的潮流计算带来很多方便，在谐波潮流计算中也多引用谐波复功率进行分析计算。27

例7：有一负载，其两端电压是

，而沿电压降落方向流过负载的电流是

。求(a)复功率和视在功率，(b)有功功率和无功功率，(c)负载阻抗。讲解例题

解:电压和电流的相量形式分别为复功率为视在功率为28又对照

，则有功功率为P=22.5W无功功率为Q=38.97VAR负载阻抗是：这是一个电容性阻抗。29例8：已知RLC串联电路中，电阻R=16Ω，感抗XL=30Ω，容抗XC=18Ω，电路端电压为220V，试求电路中的有功功率P、无功功率Q、视在功率S。（提示0.8+0.6j=ej36.90)解：复阻抗(阻抗的复数形式)为电路中的有功功率为1936W（瓦）,无功功率为1452var（容性）视在功率为2420VA（伏安）讲解例题

30小结你能总结一下本讲的主要内容吗？311、一个电感为20mH的纯电感线圈，接在电压u＝311sin（314t+300）V的电源上，求：电路中的无功功率是多少？2、一个容量为637μF的电容器，接在电压u＝311sin（314t－600）V的电源上，求：电路中的无功功率是多少？3、将电感为255mH、电阻为60的线圈接到u=311sin314t伏的电源上组成RL串联电路。求电路中的有功功率。练习324、将一个电阻R=40Ω和一个25微法的电容器相串联后接到u=141sin500t伏的电源上，试求电路上的有功功率P、无功功率Q、视在功率S。5、已知RLC串联电路中，电阻R=16Ω，感抗XL=30Ω，容抗XC=18Ω，电路两端电压为220V，试求电路上的有功功率P、无功功率Q、视在功率S。336、已知RLC串联交流电路中，电阻R=30Ω，电感L=127mH，电容C=40μF，电路两端电压为u=311sin100πt伏，试求电路上的有功功率P、无功功