第四节函数的极限-课件

数列是特殊的函数,我们将数列极限推广到一般函数的极限,但是,函数极限远比数列极限复杂.一、函数极限与数列极限的类似之处及其自身特征1.类似之处由于数列是一类特殊的函数,特殊之处在于它的定义域为N,即,数列的极限只有一个趋势n→∞.将自变量变为x可得到:这样对于函数极限,数列极限的定义,结论,性质都可直接搬过来.但是,数列极限与函数极限存在不同之处:an:n→∞是沿数轴上的正整数跳跃地趋于+∞.f(x):x→+∞是沿数轴上的正实数连续地趋于+∞.2.函数极限的自身特征由于x变化趋势的性态不同,函数极限有以下几种情形:(1)自变量x无限增大分三种情况讨论:(I)自变量x的绝对值|x|无限增大,即x→∞,x在数轴上向左右两个方向趋进,且其绝对值无限增大;(II)

x>0,x无限增大,即x→+∞,x在数轴上向右方无限增大;(2)自变量x趋进于某个常数x0分三种情况讨论:(II)

x>x0,x无限趋进x0,即x→x0+,x在数轴上从x0点的右边无限接近于x0;(III)

x<x0,x无限趋进x0,即x→x0-,x在数轴上从x0点的左边无限接近于x0;(III)

x<0,|x|无限增大,即x→-∞,x在数轴上向左方无限减少;(I)自变量x趋进于某个常数x0(x→x0),x

在数轴上从x0点的左右两边波动且无限接近于x0.对于函数y=ƒ(x),自变量的连续变化趋势,例如ooxxyyooxxyy二、x→∞时,函数ƒ(x)的极限播放通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.1.定义2.几何解释oxyA+εA–εAX–Xy=ƒ(x)注|x|无限增大说明x向数轴的两个方向同时趋近于无穷大,一个是正无穷大,一个是负无穷大.例1证用“ε—X”定义证明证练一练3.另两种情形对函数ƒ(x),当x取正值无限增大时(即x→＋∞),若ƒ(x)无限接近某常数A,则称A是函数ƒ(x)

当x→＋∞时的极限.例如,或oxyA+εAA–εXy=ƒ(x)可作两条直线y=A–ε及y=A+ε,对应的函数曲线介于这两条直线之间,如图则总存在区间(X,+∞),当几何意义:设函数ƒ(x)取正值而绝对值无限增大时,

函数y=lnx,y=ex,y=logax(a>1),当x→＋∞时极限都不存在.例如,证练一练用“ε—X”定义证明对函数ƒ(x),当x取负值而绝对值无限增大时(即x→–∞),如果ƒ(x)无限接近某常数A,则称A是函数ƒ(x)当x→–∞时的极限.或例如oxyA+εA–εA

–Xy=ƒ(x)可作两条直线y=A–ε及y=A+ε,对应的函数曲线介于这两条直线之间,如图则总存在区间(–∞,–X),当设函数ƒ(x)取负值而绝对值无限增大时,几何意义：

定理1

函数y=ƒ(x)当x→∞时极限存在且为A的充要条件是函数y=ƒ(x)当x→＋∞与x→－∞时极限都存在且等于A.即三者的关系：例2讨论极限是否存在?解于是故极限不存在.三、时,函数ƒ(x)的极限1.定义2.几何意义º°oxyA+εAA–εy=ƒ(x)可作两条直线y=A–ε及y=A+ε.则在x轴上总存在以x０为心,δ为半径的去心邻域即在该去心邻域内对应的函数曲线y=f(x)一定介于这两条直线之间,如下图.注1.函数y=f(x)在x０点的极限只要求函数在以x０为中心,

δ为半径的去心邻域内有定义,而与在x０点有无定义无关.例如2.δ表示x趋近于x０点的程度.δ与预先任意给定的正数ε有关,体现x→x０与f(x)→A两个趋近之间的关系.3.用“ε—δ”定义证明的关键是由解出得到注意求解δ时要把|x-x０|作证例3要使成立,只需所以,对任意给定的,取恒成立,所以原等式成立.为未知数求解.由于δ不唯一,在δ不易求出的过程中可适当使用放大法.证函数在点x=1处没有定义.练一练

注

此例中函数虽在x=1处无定义,但x→１时极限却存在.这说明函数在x0点的极限是否存在与函数在x0处有无定义无关.证要使例4成立,只需所以,对任意给定的,取恒成立,所以原等式成立.单侧极限——函数ƒ(x)的左、右极限引例中所讨论的x→x0即x可从x0的左右两侧趋于x0

.但有时可考察x仅从x0的左侧或右侧趋近时函数(特别是分段函数在分段点处)的极限.由此引入左、右极限的概念.1.左右极限设函数ƒ(x)在点x0右侧某个去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的ε>0,总存在δ>0,使得当x满足不等式恒成立,那么常数A就叫做函数ƒ(x)当时的右极限,记做就可以得到在x0处的左极限.记为类似地,在的定义中,把改为左极限和右极限统称为单侧极限.左极限右极限时,函数ƒ(x)的极限极限即函数y=ƒ(x)当x→x0时极限存在且为A的充要条件是函数y=ƒ(x)

的左极限和右极限都存在且等于A.定理22.左右极限的关系注1.此定理是判断函数在某点极限是否存在的充要条件;2.此定理经常用来判断分段函数在分界点处的极限是否存在;即使函数在某点的左、右极限都存在,但是不相等,则函数在该点的极限也不存在.例5设ƒ(x)=|x|,求解因为则故oxy•y=|x|

左右极限存在但不相等,例6证解

因为例7求a.1.讨论函数当x→０时的极限.2.

y=[x]在x→1时极限是否存在？解因为oxy°•°•1练一练3.解

讨论当时,函数的极限.当x<0时,有当x>0时,有所以4.解因为由于左、右极限存在但不相等,所以f(x)

的极限不存在.5.设函数,讨论是否存在?解因此不存在.当x<0时,有当x>0时,有四、函数极限的几个重要性质定理3(唯一性)注

若极限不唯一,则极限不存在.若limƒ(x)=A存在,则极限值A唯一.为了叙述方便,将ƒ(x)在x→∞或x→x0时的极限A统一表述为:对总存在那么一个时刻,在此刻以后,就恒有,并记为定理4(局部有界性)若存在,一定存在那么一个时刻,在此时刻以后,ƒ(x)必定有界.证取ε=1,因为则存在当时,于是,当时取当有

定理5(局部保号性定理)若limƒ(x)=A且A>0(或A<0).则存在那么一个时刻,在此时刻以后,ƒ(x)

>0就恒有(ƒ(x)<0).必存在那么一个时刻,在此时刻以后,就恒有即证设A>0取正数由limƒ(x)=A的定义,由定理5,易得以下推论推论1推论2证用反证法.则由定理1,与已知的某去心邻域,使在该邻域内存在假设A<0,所以假设不真,条件矛盾,故(同样可证的情形)思考:若推论2中的条件改为是否必有不能!如函数六种极限形式：小结过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后思考题思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.二、x→∞时,函数ƒ(x)的极限二、x→∞时,函数ƒ(x)的极限二、x→∞时,函数