扭转(修改)资料课件

1第九章圆轴的扭转9.2扭矩、扭矩图9.1扭转的概念与实例9.3圆轴扭转时的应力与变形9.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件2工程构件分类:板块体杆杆的基本变形:轴向拉压弯曲xyz扭转39.1扭转的概念与实例汽车转向轴传动轴49.1扭转的概念与实例研究对象：圆截面直杆受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程:

SMx=0变形特征：相对扭转角fAB圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。xyz0M0M变形前变形后fAB59.2扭矩与扭矩图扭矩：T是横截面上的内力偶矩。内力—由截面法求得。取左边部分平衡由平衡方程：

M0M0假想切面外力偶

M0内力偶

T6由平衡方程：

取右边部分T

和T是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。TM0M0假想切面取左边部分平衡外力偶

M0

扭矩

T扭矩外力偶

平衡TM07扭矩的符号规定：按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。负M0TM0T正8以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。

2010画扭矩图：xoCABABCAB段：BC段：95kN5kN3kNFN

图+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向简捷画法：2010ABC在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。FN图（轴力）按右手法确定+向xoCABT图10解：由功率－转速关系计算外力偶矩例某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为PA=400KW，从动轮B、C和D的输出功率分别为PB=PC=120KW，PD=160KW。试作轴的扭矩图。

BMBMCCMAMDAD11最大扭矩在AB段，且求各截面内力：BC段CA段AD段BMBMCCMAMDADT1BMBBMBMCCT2MDDT3ACBDT/kN.m1.643.282.18T图12简捷画法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.mT

图按右手法确定+向1.6413讨论：试作扭矩图2010T图按右手法确定+向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mABCD20xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.m求反力偶：2010T

图按右手法确定+向ABCD20149.3圆轴扭转时的应力与变形变形体静力学的基本研究思路：静力平衡条件变形几何条件材料物理关系++1.变形几何条件刚性平面假设：变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线且半径大小不变。变形前变形后8.3.1圆轴扭转的应力公式圆周线相对旋转了一个角度，形状、尺寸、相邻圆周线之间的距离无变化纵向线仍近似直线，只是倾斜了一个微小角度矩形变成菱形15取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。1.变形几何条件g是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为CC=gdx=rdf,故有：df/dx

,称为单位扭转角。对半径为r的其它各处，可作类似的分析。dxOCDABrrCDdfdfgTg161.变形几何条件对半径为r的其它各处，作类似的分析。剪应变g的大小与半径r成正比。与单位扭转角df/dx成正比。即得变形几何条件为：--(1)同样有：CC=gdx=rdfdxOCDABrrCDdfTgrgr172.物理关系—材料的应力-应变关系在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G是t-g曲线的斜率，如图，称为剪切弹性模量。--(2)半径为r处的剪应力则为：

圆轴扭转时无正应力1GOtg1Gts材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。18讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布圆轴几何及MT给定，df/dx为常数；G是材料常数。--(3)dxOCDABrrCDdfMTgrgrtrTotrrtmax最大剪应力在圆轴表面处。截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离r成正比；剪应变在ABCD面内，故剪应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。193.力的平衡关系应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：--(3)利用(3)式，得到：trTotrrtmaxdA203.力的平衡关系令：最后得到：--(4)Ir称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。trTotrrtmaxtmax在圆轴表面处，且W=I/r，称为抗扭截面模量。Tr求Ir，WT?219.3.2

圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量抗扭截面模量W=I/rTrdDo讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积dA=2prdr,则有：极惯性矩:ò=AdAI2rrrdrdA极惯性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpr-=-==òDdDdIDd抗扭截面模量：16/)1()2//(43apr-==DDIWTa=d/D22圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量dDo空心圆轴实心圆轴Do极惯性矩r=)1(3244ap-DI抗扭截面模量)1(1643ap-=DWTa=d/D=0324DIpr=163DWTp=23研究思路：变形几何条件dx---(1)d/jrg=+材料物理关系dxdGGjrgtrr==---(2)静力平衡关系+ATdAdxdG=ò2rj---(3)圆轴扭转剪应力公式：rrrtIT=---(4)且由(2)、(4)可知单位扭转角为：rjGITdxd//=---(5)24结论：1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。2）截面任一处截面外圆周处（表面）

tr=Tr/Ir

tmax=T/WT

dDo空心圆轴实心圆轴DoTtrtmaxTtrtmax25讨论：2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截面尺寸不同，其扭矩图相同否?

若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？变形是否相同？相同相同不同oToToToT26思考题:9-2，9-3习题：9-1(b)(c)，9-2第一次作业：27第九章圆轴的扭转9.2扭矩、扭矩图9.3圆轴扭转时的应力与变形9.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件9.1扭转的概念与实例28前节回顾（圆轴扭转问题）剪应力

t在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。单位扭转角为：d/dx=T/GIr内力是扭矩T

最大剪应力在表面处(r=r)，且tmax=T/WToMTrrtITr=极惯性矩抗扭截面模量324DIpr=163DWTp=实心轴r=)1(3244ap-DI)1(1643ap-=DWT空心轴299.3.3

圆轴的扭转变形单位扭转角为：相对扭转角

：B截面相对于A截面的扭转角。若AB=L，则ABGI称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。r若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。dxOCDABrCDddgTgTABLBAgdxGITdLABòò==0rj若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则T/GIr=const.,故有：rGILTAB/=30例2.空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m

MC=100N.m，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对A截面的扭转角。解:1)画扭矩图。2)计算各段应力:AB段：N-mm-Mpa单位制

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m312)计算各段应力:BC段：故tmax=86.7Mpa

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m3)计算扭转角ACradGIlT2GIT1BCBCABlABAC183.0=+=rrjN-mm-Mpa单位制329.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件拉压

ss/n(延)=[]=

sb/n(脆)max

ts/n(延)t=[t]=

tb/n(脆)扭转强度条件max[t]=0.5~0.6[s](钢材，延性)[t]与[s]之关系：

[t]=0.8~1.0[s](铸铁，脆性)1.强度条件][/maxss£=AFN][/maxtt£=TWT33轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIr扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。单位长度的扭转角为：q=AB/L=T/GIr扭转刚度条件则为：qmax[q]---许用扭转角机械设计手册建议：[q]=0.25~0.5/m;精度高的轴；

[q]=0.5~1.0/m;一般传动轴。2.刚度条件单位统一为/m，则有：（弧度转换为角度）][180maxqpqr£=oGIT343.扭转圆轴的设计二者均须满足扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；确定许用载荷（扭矩）；设计轴的几何尺寸。强度条件：][/maxtt£=TWT刚度条件：][180maxqpqr£=oGIT极惯性矩324DIpr=抗扭截面模量163DWTp=35解:1)画扭矩图。例4.实心圆轴如图，已知MB=MC=1.64kN.m，

MD=2.18kN.m材料G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=1/m，试设计轴的直径。最大扭矩在AB段，且BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.m1.642)按强度设计，有：][16/3maxtpt£==DTWTTN-m-Pa单位制362)按刚度设计，有：同时满足强度与刚度要求，则应取取大者][18032/1804maxqpppqr£==ooDGTGIMT则有：42max][18032qpGTD°³42911080180328032=pN-m-Pa单位制)(109.693m-=mm70=37讨论：若取a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。故：=76.4mm34max])[1(16tap-³TD3641040)5.01(328016-=p按刚度设计，有：][18032/)1(44maxqpapq£-=oDGTmax则有：取D=78mm=71mm44291)1(1080180328032-³apD扭矩图不变，按强度设计，有：][maxmaxtt£==TT16/)1(43maxap-DWT)5.0(a=1/)1()2/(])2/()2/([2222agpgapp-=-=LDLDD实心轴空心轴重量比：重量减轻25%，尺寸略大一点。38例5.联轴节如图。轴径D=100mm，四个直径d=20mm的螺栓对称置于D1=320mm的圆周上，t=12mm。若[]=80MPa，[j]=120MPa。试确定许用的扭矩M。解：1)考虑轴的扭转强度条件:][16/3maxmaxtpt£==DMWTT16/][3DM扭pt£m