利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法分别求教学课件2

利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法分别求16、自己选择的路、跪着也要把它走完。17、一般情况下)不想三年以后的事，只想现在的事。现在有成就，以后才能更辉煌。18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。19、学习的关键--重复。20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法分别求利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法分别求16、自己选择的路、跪着也要把它走完。17、一般情况下)不想三年以后的事，只想现在的事。现在有成就，以后才能更辉煌。18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。19、学习的关键--重复。20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．图1【反思启迪】

1.求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种．传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解．用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意计算上不要失误．2．角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角．【解】

(1)证明∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD.在正方形ABCD中，CD⊥AD，图2∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE.∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.(2)由(1)知平面EAD⊥平面ABCD，取AD中点O，连接EO，∵EA＝ED，∴EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，1)，设M(x，y，z)，利用空间向量法求二面角的方法：(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题．【规范解答】

取BC的中点E，AD的中点P，连接PE.在△SAD中，SA＝SD＝a，P为AD的中点，所以SP⊥AD.又因为平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以，SP⊥平面ABCD.显然有PE⊥AD.如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PE为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，【反思启迪】

1.当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为简洁明快．2．用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是比较明显的．【解】

(1)证明∵SD⊥平面ABCD，SD⊂平面SAD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，又DE⊂平面SAD，∴DE⊥AB.∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB，∵DE⊂平面BED，∴平面BED⊥平面SAB.(2)由题意知SD，AD，DC两两垂直，以DA、DC、DS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，不妨设AD＝2，则 (2013·深圳模拟)如图5，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D—AA1—C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．【规范解答】

设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos60°＝3，∴AO2＋A1O2＝AA，∴A1O⊥AO.由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD.【反思启迪】

利用空间向量解决探索性问题，可将所求问题转化为方程(组)是否有解的问题，可通过解方程(组)来判断是否有解．又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE.谢谢你的阅读知识就是财富丰富你的人生71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德

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