审讯过程的数学模型

审讯过程的数学模型第1页，课件共29页，创作于2023年2月审讯过程的数学模型引言基本模型讯问策略一讯问策略二讯问策略三综合讯问策略结论第2页，课件共29页，创作于2023年2月引言审讯过程是侦察刑事犯罪案件中的一个重要环节，它对侦破案件、确认犯罪事实具有重要作用。实际的审讯过程涉及的因素多，非常复杂，我们如何建立一个实用的数学模型呢？首先我们应该把各种可能的因素都罗列出来，分析一下那些是主要的因素，然后抓住主要因素来建立一个简化的基本模型。对基本模型要用实践检验，再加以修正或完善。下面我们就来建立审讯过程的数学模型。第3页，课件共29页，创作于2023年2月基本模型审讯过程可以看成讯问人（公安检察人员）和被讯问人（犯罪嫌疑人）的对策过程。为了简单起见，这里我们把研究的范围限制在被讯问人单独作案的情况，这时被讯问人组成一个局中人。按刑事诉讼法的要求，在审讯中讯问者至少应为两人；但这几个人是采用同一共同策略的，因此从对策论的观点来看，讯问者也只能算作一个局中人。第4页，课件共29页，创作于2023年2月基本模型按上面的分析，单独作案的审讯过程可以归结为有二个局中人的二人对策问题。一般情况下，被讯问人往往企图想方设法来减轻自己的刑事责任；而讯问人的目的是通过审讯尽可能地掌握案情事实，并非只是为了给被讯问人多判几年。因此两者的关系并不是完全对立的。由于两个局中人不象在博弈过程中那样完全对立，因此它不同于常见的二人常和对策问题，不能套用已知的矩阵对策的方法和结果，必须另辟蹊径，建立新的数学模型来分析处理。第5页，课件共29页，创作于2023年2月基本模型假定被讯问人的实际犯罪量为A，它可用法定的刑期或罚金来定量化。为简单起见，我们把被讯问人的策略集概括为不交代，交代；而对被讯问人的犯罪事实，讯问人有掌握和不掌握二种情况。由此我们可以得到被讯问人的基本支付表（支付矩阵）如右表：

支付表一支付值不掌握掌握不交代0A交代AA第6页，课件共29页，创作于2023年2月基本模型考虑到通常讯问人仅掌握部分犯罪事实，而被讯问人也可能采取部分交代的策略，我们必须用统计的办法来描述。假设讯问人对被讯问人的犯罪事实的掌握程度为p：当完全不掌握时p=0，完全掌握时p=1，一般情况下0<p<1。支付表一支付值不掌握1-p掌握p不交代1-q0A交代qAA第7页，课件共29页，创作于2023年2月基本模型同时假设被讯问人对问题的交代程度为q：当完全不交代时q=0，完全交代时q=1，一般情况下0<q<1。因此当被讯问人采用策略q，即交代程度为q时其支付的期待值为f=qA+(1–q)pA(1)支付表一支付值不掌握1-p掌握p不交代1-q0A交代qAA第8页，课件共29页，创作于2023年2月基本模型从经济学的角度看，人类行为的动机可归结为利益动机：人们在行为决策时通常遵循“利益最大化”或“支付最小化”的原则。因而被讯问人倾向于采取使其支付期待值f为最小的策略。根据(1)式，我们有

fq=(1–p)A>0(2)故当q=0时基本支付的期待值为最小，即被讯问人有隐瞒罪行的自然倾向，这与我们的经验是一致的。

第9页，课件共29页，创作于2023年2月基本模型另一方面，讯问人的目标是使被讯问人的交待程度q为最大，即设法使被讯问人采用q值较大的策略。显然，这是一种特殊的二人对策问题。由于在此问题中二个局中人的利益不象二人零和对策中那样完全对立，因此讯问人可以采用适当措施来调整被讯问人的支付表，改变支付期待值的最小值点，从而达到让被讯问人交代的目标。

第10页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略一经认真观察，我们不难注意到掌握不掌握被讯问人的犯罪事实是由客观因素决定的，并不是讯问人主观上可以自由选取的策略。因此基本支付表中并没有反映出讯问人策略选取的影响。考虑到我国的基本刑事政策是“惩办与宽大相结合”，讯问人首先可以采取的一个策略是“坦白从宽、抗拒从严”。这个策略怎样用数学的方法来表述呢？第11页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略一为了便于数学处理，我们引入宽严系数a：一个犯罪量为A的被讯问人如主动交代，则其支付值可以从宽到(1－a)A；如抗拒交代，则其支付值可以从严到(1＋a)A。此策略后，被讯问人的支付表为表二容易看出支付表一为表二中取a=0的特例。支付表二支付值不掌握1-p掌握p不交代1–q0(1+a)A交代q(1-a)A(1-a)A第12页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略一在讯问人采用宽严策略后，被讯问人的支付期待值为f=q(1-a)A+(1-q)p(1+a)A(3)

平均支付值f随被讯问人的策略q变化的规律为fq=(1-a)A-p(1+a)A(4)

支付表二支付值不掌握1-p掌握p不交代1–q0(1+a)A交代q(1-a)A(1-a)A第13页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略一

fq=(1-a)A-p(1+a)A(4)定义满足条件fq=0的掌握程度为pc

，由(4)式可得

pc=(1–a)/(1+a)(5)当p>pc

时f(q)为减函数，在q=1处取最小值；反之当p<pc

时f(q)为增函数，在q=0处取最小值。第14页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略一上面的分析说明pc

是被讯问人由不交代转变为交代的临界值，它完全由讯问人所采取的策略即宽严系数a所决定，随着a的增加而变小。对于给定的掌握程度p，临界值pc

变小有助于使被讯问人交代。例如当a=0.1时，pc=9/11，因此只有掌握程度p大于9/11时被讯问人才会主动交代；而当a=0.2时，pc=2/3，只要掌握程度p大于2/3即可出现主动交代。第15页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略一刚才的讨论充分显示了宽严策略对审讯结果的作用，这在相当程度上与事实相符。然而实际应用中a的大小受到严格限制，有一个上限。坦白从宽不是宽大无边，我们总不能因为一个杀人犯主动坦白而将他无罪释放。如果当宽严系数a取上限时，掌握程度p仍小于临界值pc

，这时要想让被讯问人坦白，必须另想办法。第16页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略二信息经济学告诉我们：信息具有不对称性和不完全性。对于审讯过程来说，讯问人不完全了解被讯问人的实际犯罪量A；同时被讯问人也不完全了解讯问人的掌握程度p。实际上被讯问人在用支付表二来作决策时所依据的只是他对讯问人掌握程度的估计值p’，而不是实际值p。我们把估计值对实际值之比称为失真程度，记为k，因此有

p’=kp(6)第17页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略二一般来说，失真程度k的大小由信息的发送方式和接受方式共同决定，它可以等于1（不失真情况），也可能小于1或大于1，在特殊情况下，k的值可以变得很小或者很大。空城计中诸葛亮只有二千五百人马，却吓跑了司马懿的十五万大军，这是由于诸葛亮的妙计使司马懿对蜀军实力估计的失真程度非常大。由表二，考虑失真后被讯问人对支付期待值的估计值为

f=q(1-a)A+(1-q)kp(1+a)A(7)第18页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略二

f=q(1-a)A+(1-q)kp(1+a)A(7)其导数为

fq=(1-a)A-kp(1+a)A(8)由条件fq=0，可得有失真时的临界掌握程度为

pc=(1–a)/(1+a)/k(9)由上式容易看出随着失真程度的增加，临界值pc在减小，这将促使被讯问人坦白交代。

第19页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略二上面的分析提示我们：为了达到使被讯问人坦白交代的目的，讯问人可以采取的第二种策略是设法加大失真程度的值。这要求讯问人具有较高的讯问技术。一个有经验的讯问人常常可以设法使失真程度的值k达到或超过2，此时如果取a=0.2，则由(9)式容易求出掌握程度的临界值1/3，即实际掌握程度只要大于1/3即可让被讯问人坦白交代。第20页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略二当然失真程度k也不是越大越好：在一定的掌握程度p下，由于p’=kp<=1，因此k值存在一个上限1/p，失真程度不可能取得很大；另一方面考虑到p>pc

是坦白交代的充分条件，由公式(8)可得

k

>=(1–a)/(1+a)/p(10)k值也不必取得过大。由公式(10)我们发现如果实际掌握程度p较大时，对k值的要求可以低一些；但如果p不太大时我们就需要较大的k值，即较高的审讯技术来达到让被讯问人坦白交代的目的。第21页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略二然而必须注意到讯问人的第二种策略（扩大失真程度）只有与第一种策略配合才能起作用；假如我们单独采用第二种策略，即令a=0，由(10)式可知这时将要求k大于1/p，而后者恰好是k值的上限。这个矛盾说明了单独采用第二种策略将得不到任何效果。

第22页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略三讯问人可采取的第三种主要策略是对被讯问人进行思想教育（或感化）。我们知道犯罪嫌疑人之所以犯罪的原因虽然很多，但在被拘留或逮捕后仍拒不交代大多数是因为其坚持个人的立场，只考虑自己的得失，不愿承担罪责。站在社会的立场上客观地看，犯罪嫌疑人过去的犯罪行为已经给社会和他人造成了很大的损失和伤害，现在拒不交代的做法还将进一步增加社会为查清真相需用的支付。第23页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略三通常这种社会支付随犯罪量的增加而变大为简单起见我们假设它与犯罪量成正比，记为sA。社会支付见右表适当而细致的思想教育常常能使一些犯罪嫌疑人幡然悔悟、深刻反省自己过去的行为，把立场转变到社会的一边来。支付表三社会支付值不掌握1-p掌握p不交代1–qsAsA交代q00第24页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略三为了能定量处理，我们引入一个表征经思想教育后被讯问人立场转变程度的量——立场转化率，记为r。

r=0表示立场无转化，而r=1表示立场完全转化到社会一边。当讯问人单独使用思想教育，即第三种策略时，被讯问人支付的期待值应为其站在个人立场上的支付值与站在社会立场上的支付值的加权平均，权重为立场转化率r，即

f=(1-r)[qA+(1-q)pA]+r(1-q)sA(11)第25页，课件共29页，创作于2023年2月讯问策略三变化率为

fq=(1-r)(1-p)A-rsA(12)由此可得临界掌握程度为

pc=1–rs/(1-r)(13)显然pc随着r值的增加而迅速减小，这说明讯问人可以通过采用思想教育的策略，使被讯问人转变立场，从而达到使被讯问人坦白交待的目的。

第26页，课件共29页，创作于2023年2月综合讯问策略如果我们同时采用上述三种策略，被讯问人的支付期待值将成为

(14)其变化率为